T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2021

Ondas estacionarias

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

C1-b

b) Una onda estacionaria queda descrita mediante la ecuación:

y(x,t) = 0,5 \cdot \text{sen}((\pi/3)x) \cdot \text{cos}(40\pi t)

(S.I.). Determine razonadamente: i) Amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria. ii) Posición de los vientres y amplitud de los mismos.

Ecuación de ondaLongitud de ondaFrecuencia

b) La ecuación de una onda estacionaria se describe por la forma general

y(x,t) = 2A \text{sen}(kx) \text{cos}(\omega t)

, donde

2A

es la amplitud de la onda estacionaria,

k

es el número de onda y

\omega

es la frecuencia angular. Comparando esta forma general con la ecuación dada

y(x,t) = 0,5 \cdot \text{sen}((\pi/3)x) \cdot \text{cos}(40\pi t)

(S.I.), podemos identificar los siguientes valores:

2A = 0,5 \text{ m}

k = \pi/3 \text{ rad/m}

\omega = 40\pi \text{ rad/s}

i) Amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria.

La amplitud $A$ de las ondas armónicas que se superponen es la mitad de la amplitud máxima de la onda estacionaria:

A = \frac{0,5}{2} = 0,25 \text{ m}

La longitud de onda $\lambda$ se relaciona con el número de onda $k$ mediante la expresión $k = 2\pi/\lambda$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k}

\lambda = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6 \text{ m}

La velocidad de propagación $v$ de las ondas armónicas se puede calcular a partir de la frecuencia angular $\omega$ y el número de onda $k$ con la relación $v = \omega/k$ :

v = \frac{\omega}{k}

v = \frac{40\pi}{\pi/3} = 40 \cdot 3 = 120 \text{ m/s}

ii) Posición de los vientres y amplitud de los mismos.

Los vientres (antinodos) son los puntos donde la amplitud de la onda estacionaria es máxima. Esto ocurre cuando el término $\text{sen}(kx)$ es $\pm 1$ . Matemáticamente, esto sucede cuando:

kx = (n + \frac{1}{2})\pi = \frac{(2n+1)\pi}{2} \quad \text{para } n = 0, 1, 2, \dots

Sustituyendo el valor de $k = \pi/3$ :

(\pi/3)x = \frac{(2n+1)\pi}{2}

x = \frac{(2n+1)\pi}{2} \cdot \frac{3}{\pi}

x = \frac{3}{2}(2n+1) \text{ m}

Algunas posiciones de los vientres son:

\begin{array}{ll} \text{Para } n=0: & x = \frac{3}{2}(1) = 1,5 \text{ m} \\ \text{Para } n=1: & x = \frac{3}{2}(3) = 4,5 \text{ m} \\ \text{Para } n=2: & x = \frac{3}{2}(5) = 7,5 \text{ m} \\ & \vdots \end{array}

La amplitud de los vientres es la amplitud máxima de la onda estacionaria, que es el factor $2A$ de la ecuación. En este caso:

\text{Amplitud de los vientres} = 0,5 \text{ m}