T4: Funciones · Derivadas y rectas tangente/normal — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Derivadas y rectas tangente/normal

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x)$ , donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1, 0)$ y $B(e, 1)$ .

a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de

f

en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos

A

B

.b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto

A

Recta tangenteRecta normalDerivadas

Resolución del ejercicio de derivadas y rectas

a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de

f

en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos

A

B

Para que la recta tangente sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 0)$ y $B(e, 1)$ , ambas deben tener la misma pendiente. Calculamos primero la pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$ :

m_{AB} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = \ln(x)$ en cualquier punto $x$ es el valor de su derivada en dicho punto:

f'(x) = \frac{1}{x}

Igualamos la derivada a la pendiente $m_{AB}$ para encontrar el valor de $x$ :

\frac{1}{x} = \frac{1}{e - 1} \implies x = e - 1

Dado que $e \approx 2,718$ , el valor $x = e - 1 > 0$ pertenece al dominio de la función. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$ :

f(e - 1) = \ln(e - 1)

Por tanto, el punto buscado es $(e - 1, \ln(e - 1))$ .

b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto

A

La pendiente de la recta normal en el punto $A(1, 0)$ se obtiene a partir de la pendiente de la recta tangente ( $f'(1)$ ) mediante la relación:

m_n = -\frac{1}{f'(1)}

Calculamos la derivada en $x = 1$ :

f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \implies m_n = -\frac{1}{1} = -1

Aplicamos la ecuación punto-pendiente para el punto $A(1, 0)$ y la pendiente $m_n = -1$ :

y - 0 = -1(x - 1) \implies y = -x + 1