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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2017 · Ordinaria · Reserva
4A-b
Examen
b) ¿Qué velocidad ha de tener un electrón para que su longitud de onda sea 100100 veces mayor que la de un neutrón cuya energía cinética es 6 eV6 \text{ eV}?

Datos: me=9,11⋅10−31 kg;mn=1,69⋅10−27 kg;e=1,60⋅10−19 Cm_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; m_n = 1,69 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e = 1,60 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Hipótesis de De BroglieEnergía cinéticaElectrón+1

Primero calculamos la longitud de onda de De Broglie del neutrón con energía cinética Ek=6 eVE_k = 6 \text{ eV}.La longitud de onda de De Broglie es:

λ=hp=hmnvn=h2mnEk\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_n v_n} = \frac{h}{\sqrt{2 m_n E_k}}

Convertimos la energía cinética del neutrón a julios:

Ek=6 eV×1,60⋅10−19 J/eV=9,60⋅10−19 JE_k = 6 \text{ eV} \times 1{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV} = 9{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Calculamos el momento lineal del neutrón:

pn=2mnEk=2×1,69⋅10−27×9,60⋅10−19p_n = \sqrt{2 m_n E_k} = \sqrt{2 \times 1{,}69 \cdot 10^{-27} \times 9{,}60 \cdot 10^{-19}}
pn=3,2448⋅10−45=1,801⋅10−22,5≈1,801⋅10−22,5p_n = \sqrt{3{,}2448 \cdot 10^{-45}} = 1{,}801 \cdot 10^{-22{,}5} \approx 1{,}801 \cdot 10^{-22{,}5}

Calculamos el valor numérico paso a paso:

2×1,69⋅10−27×9,60⋅10−19=3,245⋅10−45 kg2m2s−22 \times 1{,}69 \cdot 10^{-27} \times 9{,}60 \cdot 10^{-19} = 3{,}245 \cdot 10^{-45} \text{ kg}^2\text{m}^2\text{s}^{-2}
pn=3,245⋅10−45=5,696⋅10−23 kg⋅m/sp_n = \sqrt{3{,}245 \cdot 10^{-45}} = 5{,}696 \cdot 10^{-23} \text{ kg·m/s}

La longitud de onda del neutrón:

λn=hpn=6,626⋅10−345,696⋅10−23=1,163⋅10−11 m\lambda_n = \frac{h}{p_n} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{5{,}696 \cdot 10^{-23}} = 1{,}163 \cdot 10^{-11} \text{ m}

La condición del problema es que la longitud de onda del electrón sea 100 veces mayor que la del neutrón:

λe=100⋅λn=100×1,163⋅10−11=1,163⋅10−9 m\lambda_e = 100 \cdot \lambda_n = 100 \times 1{,}163 \cdot 10^{-11} = 1{,}163 \cdot 10^{-9} \text{ m}

Aplicamos la relación de De Broglie al electrón para obtener su velocidad:

λe=hmeve  ⟹  ve=hmeλe\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e} \implies v_e = \frac{h}{m_e \lambda_e}
ve=6,626⋅10−349,11⋅10−31×1,163⋅10−9v_e = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{9{,}11 \cdot 10^{-31} \times 1{,}163 \cdot 10^{-9}}
ve=6,626⋅10−341,059⋅10−39=6,25⋅105 m/sv_e = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{1{,}059 \cdot 10^{-39}} = 6{,}25 \cdot 10^{5} \text{ m/s}

La velocidad que debe tener el electrón es ve≈6,25⋅105 m/sv_e \approx 6{,}25 \cdot 10^5 \text{ m/s}, lo que representa aproximadamente el 0,2% de la velocidad de la luz, por lo que el tratamiento no relativista es válido.