T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Intervalos de confianza

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

BLOQUE D - EJERCICIO 8

Se desea estimar la proporción de donantes de sangre en una universidad. Para ello se toma una muestra aleatoria de $400$ personas de esa universidad, resultando que $64$ son donantes de sangre.

a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del

98\%

, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre.b) Si el nivel de confianza es del

95\%

, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza.

Intervalo de confianzaProporción poblacionalError máximo

Datos iniciales:

n = 400

x = 64

La proporción muestral de donantes de sangre es:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{64}{400} = 0.16

La proporción de no donantes de sangre es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.16 = 0.84

a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del

98\%

, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre.

El nivel de confianza es del $98\%$ , por lo tanto, $1 - \alpha = 0.98$ , lo que implica que $\alpha = 0.02$ y $\alpha/2 = 0.01$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en la tabla de la distribución normal estándar. Para $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$ , el valor es $z_{0.01} = 2.326$ .La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es:

\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

Calculamos el error máximo permitido ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.326 \sqrt{\frac{0.16 \cdot 0.84}{400}}

E = 2.326 \sqrt{\frac{0.1344}{400}} = 2.326 \sqrt{0.000336}

E = 2.326 \cdot 0.01833 \approx 0.0427

El intervalo de confianza es:

IC = (0.16 - 0.0427, 0.16 + 0.0427) = (0.1173, 0.2027)

Por lo tanto, el intervalo de confianza del $98\%$ para la proporción de donantes de sangre es $(0.1173, 0.2027)$ .

b) Si el nivel de confianza es del

95\%

, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza.

Para un nivel de confianza del $95\%$ , $1 - \alpha = 0.95$ , lo que implica que $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ es $z_{0.025} = 1.96$ .Calculamos el error máximo cometido ( $E$ ) con este nuevo nivel de confianza:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.16 \cdot 0.84}{400}}

E = 1.96 \sqrt{0.000336}

E = 1.96 \cdot 0.01833 \approx 0.0359

El error máximo cometido con un nivel de confianza del $95\%$ es de aproximadamente $0.0359$ .Razonamiento sobre el cambio en el error:Al disminuir el nivel de confianza de $98\%$ a $95\%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ también disminuye (de $2.326$ a $1.96$ ). Dado que el error máximo ( $E$ ) es directamente proporcional al valor crítico $z_{\alpha/2}$ , una disminución en el nivel de confianza resultará en un error máximo menor. Esto se debe a que un menor nivel de confianza implica que el intervalo de confianza es más estrecho, lo que significa que estamos menos seguros de que el verdadero parámetro poblacional se encuentre dentro de ese intervalo.