T1: Matrices y determinantes · Cálculo de la matriz inversa y ecuaciones matriciales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Cálculo de la matriz inversa y ecuaciones matriciales

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

BLOQUE A

Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & m \\ 1 & 1 & 1 \\ m & 3 & 5 \end{pmatrix}

, con $m$ un parámetro real, se pide:

a) ¿Para qué valores del parámetro

m

tiene inversa la matriz

A

?b) Para

m = 0

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A = A \cdot A^t

MatricesMatriz inversaEcuación matricial+1

Resolución de la matriz A y sus propiedades

a) ¿Para qué valores del parámetro

m

tiene inversa la matriz

A

Una matriz cuadrada $A$ posee inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ( $|A| \neq 0$ ).

|A| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & m \\ 1 & 1 & 1 \\ m & 3 & 5 \end{vmatrix}

Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus o el desarrollo por los elementos de la primera fila:

|A| = 2(5 - 3) - 0(5 - m) + m(3 - m) = 4 + 3m - m^2

Para determinar los valores de $m$ que hacen que la matriz no sea invertible, igualamos el determinante a cero:

-m^2 + 3m + 4 = 0 \implies m^2 - 3m - 4 = 0

m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}

Las soluciones son $m = 4$ y $m = -1$ . Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m$ pertenecientes al conjunto de los números reales excepto $-1$ y $4$ :

m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 4\}

b) Para

m = 0

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A = A \cdot A^t

Dado que para $m = 0$ el determinante es $|A| = 4 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible. Despejamos la matriz $X$ multiplicando por la derecha por la inversa de $A$ ( $A^{-1}$ ):

X \cdot A \cdot A^{-1} = A \cdot A^t \cdot A^{-1} \implies X = A \cdot A^t \cdot A^{-1}

Para $m = 0$ , definimos las matrices $A$ y $A^t$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad A^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}

Calculamos primero el producto $A \cdot A^t$ :

A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 8 \\ 0 & 8 & 34 \end{pmatrix}

Calculamos la inversa de $A$ mediante la matriz de adjuntos traspuesta:

A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -5 & 10 & -2 \\ 3 & -6 & 2 \end{pmatrix}

Resolvemos $X = (A \cdot A^t) \cdot A^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 8 \\ 0 & 8 & 34 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -5 & 10 & -2 \\ 3 & -6 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 20 & -4 \\ 13 & -18 & 10 \\ 62 & -124 & 52 \end{pmatrix}

Finalmente, dividiendo cada término entre $4$ , obtenemos la matriz $X$ :

X = \begin{pmatrix} -1/2 & 5 & -1 \\ 13/4 & -9/2 & 5/2 \\ 31/2 & -31 & 13 \end{pmatrix}