T4: Funciones · Cálculo de primitivas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Cálculo de primitivas

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

Determina la única función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple que $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ y $f''(x) = e^x(x + 2)$ .

DerivadasIntegralesCálculo de funciones

Determinación de la función $f(x)$

Se nos pide encontrar la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple las condiciones $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ y $f''(x) = e^x(x + 2)$ . Para ello, integramos $f''(x)$ dos veces, utilizando las condiciones iniciales para determinar las constantes de integración.Primero, integramos $f''(x)$ para obtener $f'(x)$ . La integral $\int e^x(x + 2) dx$ se resuelve utilizando integración por partes. Sea $u = x + 2$ y $dv = e^x dx$ , de donde $du = dx$ y $v = e^x$ .

f'(x) = \int e^x(x + 2) dx

\int u \, dv = uv - \int v \, du

f'(x) = (x + 2)e^x - \int e^x dx

f'(x) = (x + 2)e^x - e^x + C_1

f'(x) = e^x(x + 2 - 1) + C_1

f'(x) = e^x(x + 1) + C_1

Ahora, usamos la condición $f'(0) = 1$ para encontrar el valor de $C_1$ .

f'(0) = e^0(0 + 1) + C_1 = 1

1 \cdot 1 + C_1 = 1

1 + C_1 = 1 \implies C_1 = 0

Por lo tanto, la primera derivada de la función es:

f'(x) = e^x(x + 1)

A continuación, integramos $f'(x)$ para obtener $f(x)$ . De nuevo, utilizamos integración por partes. Sea $u = x + 1$ y $dv = e^x dx$ , de donde $du = dx$ y $v = e^x$ .

f(x) = \int e^x(x + 1) dx

f(x) = (x + 1)e^x - \int e^x dx

f(x) = (x + 1)e^x - e^x + C_2

f(x) = e^x(x + 1 - 1) + C_2

f(x) = xe^x + C_2

Finalmente, usamos la condición $f(0) = 1$ para encontrar el valor de $C_2$ .

f(0) = 0 \cdot e^0 + C_2 = 1

0 + C_2 = 1 \implies C_2 = 1

Así, la función buscada es:

f(x) = xe^x + 1