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T4: Funciones
Derivadas e integrales
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
4
Examen

Se considera la función f(x)=3x3−6x2+5f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5.

a) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a ff que sean paralelas a la recta de ecuación y=−3x+1y = -3x + 1.b) Calcule la función FF que verifique que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) y F(2)=4F(2) = 4.
Recta tangentePrimitiva de una funciónDerivadas
a) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a ff que sean paralelas a la recta de ecuación y=−3x+1y = -3x + 1.

La pendiente de la recta dada y=−3x+1y = -3x + 1 es m=−3m = -3. Las rectas tangentes a f(x)f(x) que sean paralelas a esta recta deben tener la misma pendiente. La pendiente de la recta tangente a f(x)f(x) en un punto x0x_0 viene dada por la derivada f′(x0)f'(x_0). Primero, calculamos la derivada de f(x)f(x):

f(x)=3x3−6x2+5f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5
f′(x)=9x2−12xf'(x) = 9x^2 - 12x

Igualamos la derivada a la pendiente deseada, m=−3m = -3, para encontrar los puntos de tangencia:

9x2−12x=−39x^2 - 12x = -3
9x2−12x+3=09x^2 - 12x + 3 = 0

Dividimos toda la ecuación por 3 para simplificarla:

3x2−4x+1=03x^2 - 4x + 1 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}:

x=−(−4)±(−4)2−4(3)(1)2(3)x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)}
x=4±16−126x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}
x=4±46x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}
x=4±26x = \frac{4 \pm 2}{6}

Obtenemos dos valores para xx:

x1=4+26=66=1x_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1
x2=4−26=26=13x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Ahora calculamos las coordenadas yy correspondientes a estos valores de xx utilizando la función original f(x)f(x):Para x1=1x_1 = 1:

y1=f(1)=3(1)3−6(1)2+5=3−6+5=2y_1 = f(1) = 3(1)^3 - 6(1)^2 + 5 = 3 - 6 + 5 = 2

El primer punto de tangencia es (1,2)(1, 2).Para x2=13x_2 = \frac{1}{3}:

y2=f(13)=3(13)3−6(13)2+5y_2 = f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 5
y2=3(127)−6(19)+5y_2 = 3\left(\frac{1}{27}\right) - 6\left(\frac{1}{9}\right) + 5
y2=19−69+5=−59+459=409y_2 = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} + 5 = -\frac{5}{9} + \frac{45}{9} = \frac{40}{9}

El segundo punto de tangencia es (13,409)\left(\frac{1}{3}, \frac{40}{9}\right).Ahora escribimos las ecuaciones de las rectas tangentes usando la forma punto-pendiente y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) con m=−3m = -3.Recta tangente en (1,2)(1, 2):

y−2=−3(x−1)y - 2 = -3(x - 1)
y−2=−3x+3y - 2 = -3x + 3
y=−3x+5y = -3x + 5

Recta tangente en (13,409)\left(\frac{1}{3}, \frac{40}{9}\right):

y−409=−3(x−13)y - \frac{40}{9} = -3\left(x - \frac{1}{3}\right)
y−409=−3x+1y - \frac{40}{9} = -3x + 1
y=−3x+1+409y = -3x + 1 + \frac{40}{9}
y=−3x+99+409y = -3x + \frac{9}{9} + \frac{40}{9}
y=−3x+499y = -3x + \frac{49}{9}
b) Calcule la función FF que verifique que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) y F(2)=4F(2) = 4.

Para encontrar la función F(x)F(x), debemos integrar f(x)f(x):

F(x)=∫f(x)dx=∫(3x3−6x2+5)dxF(x) = \int f(x) dx = \int (3x^3 - 6x^2 + 5) dx
F(x)=3x44−6x33+5x+CF(x) = 3\frac{x^4}{4} - 6\frac{x^3}{3} + 5x + C
F(x)=34x4−2x3+5x+CF(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + 5x + C

Utilizamos la condición F(2)=4F(2) = 4 para encontrar el valor de la constante de integración CC:

4=34(2)4−2(2)3+5(2)+C4 = \frac{3}{4}(2)^4 - 2(2)^3 + 5(2) + C
4=34(16)−2(8)+10+C4 = \frac{3}{4}(16) - 2(8) + 10 + C
4=12−16+10+C4 = 12 - 16 + 10 + C
4=6+C4 = 6 + C
C=4−6C = 4 - 6
C=−2C = -2

Sustituyendo el valor de CC en F(x)F(x), obtenemos la función específica:

F(x)=34x4−2x3+5x−2F(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + 5x - 2