T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2019 · Extraordinaria · Reserva

2B-b

b) Una bobina circular de

150

espiras y

0,12 \text{ m}

de diámetro gira en el seno de un campo magnético uniforme de

0,4 \text{ T}

inicialmente perpendicular al plano de la espira con una velocidad de

\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

. i) Calcule el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo. ii) Determine el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida.

Generador de corrienteFlujo magnéticof.e.m. inducida

b) i) Para calcular el flujo magnético (

\Phi

) que atraviesa la bobina en función del tiempo, utilizamos la fórmula general del flujo magnético para

N

espiras: La superficie de cada espira es

A = \pi R^2

, donde

R

es el radio.

\Phi(t) = N B A \cos(\theta(t))

Dado que la bobina gira con una velocidad angular constante $\omega = \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}$ y que inicialmente el campo magnético es perpendicular al plano de la espira (lo que significa que el vector normal a la espira es paralelo al campo magnético, por lo tanto, el ángulo inicial entre $\vec{B}$ y $\vec{A}$ es $\theta_0 = 0$ ), el ángulo en función del tiempo es $\theta(t) = \omega t$ .Datos: $N = 150 \text{ espiras}$ $D = 0,12 \text{ m} \Rightarrow R = 0,06 \text{ m}$ $B = 0,4 \text{ T}$ $\omega = \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}$ Calculamos el área de una espira:

A = \pi R^2 = \pi (0,06 \text{ m})^2 = 0,0036\pi \text{ m}^2

Ahora, sustituimos los valores en la ecuación del flujo magnético:

\Phi(t) = 150 \cdot (0,4 \text{ T}) \cdot (0,0036\pi \text{ m}^2) \cdot \cos(\pi t)

\Phi(t) = 0,216\pi \cos(\pi t) \text{ Wb}

b) ii) Para determinar el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida (FEM), utilizamos la Ley de Faraday-Lenz:

\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt}

Derivamos la expresión del flujo magnético con respecto al tiempo:

\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt} [0,216\pi \cos(\pi t)]

\mathcal{E}(t) = - 0,216\pi \cdot (-\pi \sin(\pi t))

\mathcal{E}(t) = 0,216\pi^2 \sin(\pi t) \text{ V}

El valor máximo de la fuerza electromotriz inducida se produce cuando $\sin(\pi t) = \pm 1$ . Por lo tanto, el valor máximo es la amplitud de la función senoidal:

\mathcal{E}_{\text{max}} = |0,216\pi^2| \text{ V}

\mathcal{E}_{\text{max}} \approx 0,216 \cdot (3,14159)^2 \text{ V}

\mathcal{E}_{\text{max}} \approx 2,13 \text{ V}