AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
5-b
Examen
b) Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al radio de ésta. Si su peso en esta órbita es 1000 N1000 \text{ N}, determine: i) La masa del satélite. ii) La velocidad orbital. iii) La energía necesaria para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}

SatélitesVelocidad orbitalEnergía orbital
b) Datos iniciales y cálculos preliminares:

El radio de la órbita rr es la suma del radio de la Tierra RTR_T y la altura hh a la que se encuentra el satélite. Dado que la altura es igual al radio de la Tierra (h=RTh = R_T), el radio orbital es:

r=RT+h=RT+RT=2RTr=2⋅6370⋅103 m=1,274⋅107 mr = R_T + h = R_T + R_T = 2R_T \\ r = 2 \cdot 6370 \cdot 10^3 \text{ m} = 1,274 \cdot 10^7 \text{ m}
TierraSatéliteFgv
i) La masa del satélite (msm_s).

El peso del satélite en órbita PoP_o es la fuerza de atracción gravitatoria entre el satélite y la Tierra a esa distancia. Se utiliza la Ley de Gravitación Universal de Newton:

Po=GMTmsr2P_o = G \frac{M_T m_s}{r^2}

Despejamos la masa del satélite msm_s:

ms=Por2GMTm_s = \frac{P_o r^2}{G M_T}

Sustituimos los valores:

ms=1000 N⋅(1,274⋅107 m)2(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,98⋅1024 kg)ms=1000⋅1,623076⋅10143,98866⋅1014 kgms≈407,07 kgm_s = \frac{1000 \text{ N} \cdot (1,274 \cdot 10^7 \text{ m})^2}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg})} \\ m_s = \frac{1000 \cdot 1,623076 \cdot 10^{14}}{3,98866 \cdot 10^{14}} \text{ kg} \\ m_s \approx 407,07 \text{ kg}
ii) La velocidad orbital (vv).

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como la fuerza centrípeta necesaria para mantener el satélite en su trayectoria:

Fg=FcGMTmsr2=msv2rF_g = F_c \\ G \frac{M_T m_s}{r^2} = \frac{m_s v^2}{r}

La masa del satélite msm_s se cancela, y despejamos la velocidad orbital vv:

v2=GMTrv=GMTrv^2 = \frac{G M_T}{r} \\ v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituimos los valores:

v=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,98⋅1024 kg)1,274⋅107 mv=3,98866⋅10141,274⋅107 m/sv=3,130816⋅107 m/sv≈5595,37 m/sv = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{1,274 \cdot 10^7 \text{ m}}} \\ v = \sqrt{\frac{3,98866 \cdot 10^{14}}{1,274 \cdot 10^7}} \text{ m/s} \\ v = \sqrt{3,130816 \cdot 10^7} \text{ m/s} \\ v \approx 5595,37 \text{ m/s}
iii) La energía necesaria para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra (EnecesariaE_{necesaria}).

La energía necesaria es la diferencia entre la energía mecánica total del satélite en órbita (EorbitalE_{orbital}) y su energía mecánica total en la superficie de la Tierra (EsuperficieE_{superficie}). Asumimos que parte del reposo en la superficie.

Enecesaria=Eorbital−EsuperficieE_{necesaria} = E_{orbital} - E_{superficie}

Energía mecánica en la superficie (EsuperficieE_{superficie}):En la superficie, el satélite está en reposo (velocidad inicial v0=0v_0 = 0), por lo que su energía cinética es cero. Solo tiene energía potencial gravitatoria.

Esuperficie=Ksuperficie+Usuperficie=0−GMTmsRTEsuperficie=−GMTmsRTE_{superficie} = K_{superficie} + U_{superficie} = 0 - G \frac{M_T m_s}{R_T} \\ E_{superficie} = - G \frac{M_T m_s}{R_T}

Energía mecánica en órbita (EorbitalE_{orbital}):En órbita circular, la energía mecánica total es la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria. Para una órbita circular, la energía cinética es Korbital=12msv2K_{orbital} = \frac{1}{2} m_s v^2. Sabiendo que v2=GMTrv^2 = \frac{G M_T}{r}, tenemos Korbital=12msGMTr=GMTms2rK_{orbital} = \frac{1}{2} m_s \frac{G M_T}{r} = \frac{G M_T m_s}{2r}. Por lo tanto,

Eorbital=Korbital+Uorbital=GMTms2r−GMTmsrEorbital=−GMTms2rE_{orbital} = K_{orbital} + U_{orbital} = \frac{G M_T m_s}{2r} - G \frac{M_T m_s}{r} \\ E_{orbital} = - \frac{G M_T m_s}{2r}

Ahora, calculamos la energía necesaria:

Enecesaria=(−GMTms2r)−(−GMTmsRT)Enecesaria=GMTms(1RT−12r)E_{necesaria} = \left( - \frac{G M_T m_s}{2r} \right) - \left( - G \frac{M_T m_s}{R_T} \right) \\ E_{necesaria} = G M_T m_s \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r} \right)

Sustituimos r=2RTr = 2R_T:

Enecesaria=GMTms(1RT−12(2RT))Enecesaria=GMTms(1RT−14RT)Enecesaria=GMTms(4−14RT)Enecesaria=3GMTms4RTE_{necesaria} = G M_T m_s \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{2(2R_T)} \right) \\ E_{necesaria} = G M_T m_s \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{4R_T} \right) \\ E_{necesaria} = G M_T m_s \left( \frac{4 - 1}{4R_T} \right) \\ E_{necesaria} = \frac{3 G M_T m_s}{4R_T}

Sustituimos los valores numéricos con ms≈407,07 kgm_s \approx 407,07 \text{ kg}:

Enecesaria=3⋅(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,98⋅1024 kg)⋅(407,07 kg)4⋅(6,37⋅106 m)Enecesaria=3⋅(1,623076⋅1017)2,548⋅107 JEnecesaria=4,869228⋅10172,548⋅107 JEnecesaria≈1,911⋅1010 JE_{necesaria} = \frac{3 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (407,07 \text{ kg})}{4 \cdot (6,37 \cdot 10^6 \text{ m})} \\ E_{necesaria} = \frac{3 \cdot (1,623076 \cdot 10^{17})}{2,548 \cdot 10^7} \text{ J} \\ E_{necesaria} = \frac{4,869228 \cdot 10^{17}}{2,548 \cdot 10^7} \text{ J} \\ E_{necesaria} \approx 1,911 \cdot 10^{10} \text{ J}