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T3: Geometría
Geometría métrica
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
8
Examen

Considera los puntos O(0,0,0)O(0, 0, 0), A(a,−1,2)A(a, -1, 2) y B(a,1,0)B(a, 1, 0).

a) Determina aa para que el triángulo OABOAB tenga área 3 unidades cuadradas.b) Calcula aa para que O,AO, A y BB sean coplanarios con el punto C(1,1,0)C(1, 1, 0).
Área de un triánguloCoplanaridadPuntos en el espacio
a) Determina aa para que el triángulo OABOAB tenga área 3 unidades cuadradas.

El área de un triángulo con vértices en el origen OO y puntos AA y BB viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores OA⃗\vec{OA} y OB⃗\vec{OB}:

Aˊrea=12∣OA⃗×OB⃗∣\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|

Primero, identificamos los vectores posición de los puntos AA y BB:

OA⃗=(a,−1,2),OB⃗=(a,1,0)\vec{OA} = (a, -1, 2), \quad \vec{OB} = (a, 1, 0)

Calculamos el producto vectorial OA⃗×OB⃗\vec{OA} \times \vec{OB} mediante el determinante:

OA⃗×OB⃗=∣ijka−12a10∣=(0−2)i−(0−2a)j+(a−(−a))k=(−2,2a,2a)\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & -1 & 2 \\ a & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2)\mathbf{i} - (0 - 2a)\mathbf{j} + (a - (-a))\mathbf{k} = (-2, 2a, 2a)

El módulo de este vector es:

|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + (2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4 + 4a^2 + 4a^2} = \sqrt{4 + 8a^2}

Sustituimos en la fórmula del área e igualamos a 3:

124+8a2=3  ⟹  4+8a2=6\frac{1}{2} \sqrt{4 + 8a^2} = 3 \implies \sqrt{4 + 8a^2} = 6

Elevamos ambos miembros al cuadrado y resolvemos la ecuación:

4+8a2=36  ⟹  8a2=32  ⟹  a2=4  ⟹  a=±24 + 8a^2 = 36 \implies 8a^2 = 32 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2
b) Calcula aa para que O,AO, A y BB sean coplanarios con el punto C(1,1,0)C(1, 1, 0).

Para que los puntos O,A,BO, A, B y CC sean coplanarios, los vectores OA⃗,OB⃗\vec{OA}, \vec{OB} y OC⃗\vec{OC} deben ser linealmente dependientes. Esto implica que el determinante de la matriz formada por sus componentes debe ser cero.Los vectores son:

OA⃗=(a,−1,2),OB⃗=(a,1,0),OC⃗=(1,1,0)\vec{OA} = (a, -1, 2), \quad \vec{OB} = (a, 1, 0), \quad \vec{OC} = (1, 1, 0)

Planteamos el determinante:

∣a−12a10110∣=0\begin{vmatrix} a & -1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0

Desarrollando el determinante por los elementos de la tercera columna (que contiene dos ceros):

2⋅∣a111∣−0+0=2(a⋅1−1⋅a)=2(a−a)=02 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 2(a \cdot 1 - 1 \cdot a) = 2(a - a) = 0

El valor del determinante es siempre 0, independientemente del valor de aa. Esto significa que los vectores son siempre linealmente dependientes y, por tanto, los cuatro puntos son coplanarios para cualquier valor de a∈Ra \in \mathbb{R}.