T1: Interacción gravitatoria

Energía en campos gravitatorios

Problema

2018 · Ordinaria · Reserva

1B-b

b) Un cuerpo de

20\text{ kg}

de masa se encuentra inicialmente en reposo en la parte más alta de una rampa que forma un ángulo de

30^\circ

con la horizontal. El cuerpo desciende por la rampa recorriendo

15\text{ m}

, sin rozamiento, y cuando llega al final de la misma recorre

20\text{ m}

por una superficie horizontal rugosa hasta que se detiene. Calcule el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal haciendo uso de consideraciones energéticas.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

energía mecánicatrabajorozamiento+1

b) Coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal.

Aplicamos el teorema trabajo-energía (o conservación de energía con rozamiento). El cuerpo parte del reposo desde una altura $h$ y se detiene tras recorrer $d = 20\text{ m}$ sobre la superficie horizontal rugosa. La energía mecánica inicial (solo potencial) se disipa completamente por rozamiento en la zona horizontal.

Paso 1: Altura del punto más alto de la rampa

La longitud de la rampa es $L = 15\text{ m}$ y el ángulo es $\alpha = 30^\circ$ , por tanto la altura $h$ es:

h = L \cdot \sin\alpha = 15 \cdot \sin 30^\circ = 15 \cdot 0{,}5 = 7{,}5\text{ m}

Paso 2: Energía mecánica inicial

El cuerpo parte del reposo ( $v_0 = 0$ ) y tomamos como referencia de energía potencial la superficie horizontal (final de la rampa):

E_{mec,i} = E_p = mgh = 20 \cdot 9{,}8 \cdot 7{,}5 = 1470\text{ J}

Paso 3: Energía mecánica final

El cuerpo se detiene al final de la superficie horizontal, por lo que $v_f = 0$ y $h = 0$ :

E_{mec,f} = 0\text{ J}

Paso 4: Trabajo realizado por la fricción

Toda la energía mecánica inicial se disipa por la fuerza de rozamiento en la superficie horizontal (la rampa es sin rozamiento). Aplicando el teorema trabajo-energía:

W_{rozamiento} = E_{mec,f} - E_{mec,i} = 0 - 1470 = -1470\text{ J}

El trabajo de la fuerza de rozamiento es $W_{fr} = -f_r \cdot d = -\mu \cdot N \cdot d$ . En la superficie horizontal, la normal es $N = mg$ :

W_{fr} = -\mu \cdot mg \cdot d

Paso 5: Cálculo del coeficiente de rozamiento

Igualando la variación de energía mecánica al trabajo de rozamiento:

-\mu \cdot mg \cdot d = -mgh

\mu = \frac{h}{d} = \frac{7{,}5}{20} = 0{,}375

El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal es $\mu = 0{,}375$ .