T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Teorema de la probabilidad total y Bayes

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

EJERCICIO 6

El censo de una población andaluza está compuesto en total por $15\,000$ personas, de las cuales $8\,500$ son mujeres. Se sabe que el $15 \%$ de las mujeres y el $20 \%$ de los hombres censados en dicha población han viajado alguna vez a un país extranjero. Se elige al azar una persona censada en dicha población.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya viajado al extranjero?b) Si se sabe que esta persona no ha viajado al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Probabilidad TotalTeorema de BayesDiagrama de árbol

Definimos los eventos principales basados en los datos del enunciado para una persona elegida al azar: $M$ : La persona es mujer. $H$ : La persona es hombre. $V$ : La persona ha viajado al extranjero. $V^c$ : La persona no ha viajado al extranjero.Calculamos las probabilidades a priori a partir de los datos de la población total ( $15\,000$ personas):

P(M) = \frac{8\,500}{15\,000} = \frac{17}{30} \approx 0.5667

P(H) = \frac{6\,500}{15\,000} = \frac{13}{30} \approx 0.4333

Las probabilidades condicionadas dadas por el enunciado son:

P(V|M) = 0.15 \quad \Rightarrow \quad P(V^c|M) = 1 - 0.15 = 0.85

P(V|H) = 0.20 \quad \Rightarrow \quad P(V^c|H) = 1 - 0.20 = 0.80

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya viajado al extranjero?

Para calcular la probabilidad de que una persona haya viajado al extranjero, utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(V) = P(M) \cdot P(V|M) + P(H) \cdot P(V|H)

Sustituimos los valores numéricos:

P(V) = \left( \frac{17}{30} \cdot 0.15 \right) + \left( \frac{13}{30} \cdot 0.20 \right)

P(V) = \frac{2.55}{30} + \frac{2.6}{30} = \frac{5.15}{30} = \frac{515}{3000} = \frac{103}{600} \approx 0.1717

b) Si se sabe que esta persona no ha viajado al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Se pide la probabilidad condicionada $P(H|V^c)$ . Para resolverlo, aplicamos el Teorema de Bayes:

P(H|V^c) = \frac{P(H \cap V^c)}{P(V^c)} = \frac{P(H) \cdot P(V^c|H)}{P(V^c)}

Primero, calculamos la probabilidad de no haber viajado ( $P(V^c)$ ):

P(V^c) = 1 - P(V) = 1 - \frac{103}{600} = \frac{497}{600} \approx 0.8283

Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes:

P(H|V^c) = \frac{\frac{13}{30} \cdot 0.80}{\frac{497}{600}} = \frac{\frac{10.4}{30}}{\frac{497}{600}} = \frac{\frac{208}{600}}{\frac{497}{600}}

P(H|V^c) = \frac{208}{497} \approx 0.4185