T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

A2-b

b) Una masa de

5 \text{ kg}

se lanza hacia abajo por un plano inclinado sin rozamiento

15^{\circ}

respecto de la horizontal con velocidad inicial de

3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. Tras recorrer

2 \text{ m}

a lo largo del plano inclinado llega a una superficie horizontal con rozamiento. Cuando ha recorrido

2 \text{ m}

sobre la superficie horizontal, su velocidad es de

1 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. i) Represente un diagrama de las fuerzas sobre la masa en cada superficie. ii) Utilizando consideraciones energéticas, calcule el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el recorrido descrito. iii) Calcule el coeficiente de rozamiento en el tramo horizontal.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Conservación de la energíaTrabajo de rozamientoPlano inclinado

i) Represente un diagrama de las fuerzas sobre la masa en cada superficie.

En el tramo inclinado, las fuerzas actuantes son el peso ( $\vec{P}$ ) y la normal ( $\vec{N}$ ), ya que no existe rozamiento. El peso se descompone en una componente paralela al plano ( $P_x$ ) y otra perpendicular ( $P_y$ ).

En el tramo horizontal, las fuerzas son el peso ( $\vec{P}$ ), la normal ( $\vec{N}$ ) y la fuerza de rozamiento ( $\vec{f_r}$ ), la cual se opone al movimiento de la masa.

ii) Utilizando consideraciones energéticas, calcule el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el recorrido descrito.

De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas ( $W_{nc}$ ) es igual a la variación de la energía mecánica del sistema ( $\Delta E_m$ ):

W_{fr} = \Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i}

Tomamos como origen de energía potencial gravitatoria ( $h = 0$ ) la superficie horizontal. La altura inicial en el plano inclinado es:

h_i = d_1 \cdot \sin(\theta) = 2 \text{ m} \cdot \sin(15^\circ) \approx 0,5176 \text{ m}

Calculamos la energía mecánica inicial ( $E_{m,i}$ ) en la parte superior del plano y la energía mecánica final ( $E_{m,f}$ ) tras recorrer los $2 \text{ m}$ en la superficie horizontal:

E_{m,i} = \frac{1}{2} m v_i^2 + m g h_i = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ kg} \cdot (3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 + 5 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 0,5176 \text{ m}

E_{m,i} = 22,5 \text{ J} + 25,36 \text{ J} = 47,86 \text{ J}

E_{m,f} = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ kg} \cdot (1 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 2,5 \text{ J}

El trabajo de la fuerza de rozamiento es:

W_{fr} = 2,5 \text{ J} - 47,86 \text{ J} = -45,36 \text{ J}

iii) Calcule el coeficiente de rozamiento en el tramo horizontal.

Dado que en el tramo inclinado no hay rozamiento, todo el trabajo no conservativo ocurre en el tramo horizontal ( $d_2 = 2 \text{ m}$ ). El trabajo de rozamiento se define como:

W_{fr} = -f_r \cdot d_2 = -\mu \cdot N \cdot d_2

En la superficie horizontal, la fuerza normal equilibra al peso, por lo que $N = m \cdot g$ . Sustituyendo en la expresión del trabajo:

W_{fr} = -\mu \cdot m \cdot g \cdot d_2

Despejamos el coeficiente de rozamiento $\mu$ :

\mu = \frac{-W_{fr}}{m \cdot g \cdot d_2} = \frac{45,36 \text{ J}}{5 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 2 \text{ m}}

\mu = \frac{45,36}{98} \approx 0,463