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T4: Óptica
Leyes de Snell
Problema
2022 · Ordinaria · Suplente
C2-b
Examen
b) Un haz de luz monocromática con longitud de onda de 6⋅10−7 m6 \cdot 10^{-7} \text{ m} incide desde el aire con un ángulo de incidencia de 30∘30^\circ sobre una pared de vidrio plano-paralela de un acuario lleno de agua. Determine razonadamente y con ayuda de un esquema: i) el ángulo de refracción en el vidrio y en el agua; ii) la longitud de onda y la velocidad de dicho rayo en el vidrio y en el agua.

Datos: naire=1;nvidrio=1,50;nagua=1,33;c=3⋅108 m⋅s−1n_{\text{aire}} = 1; n_{\text{vidrio}} = 1,50; n_{\text{agua}} = 1,33; c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

RefracciónLámina de caras paralelasÍndice de refracción
b) i) Determinación del ángulo de refracción en el vidrio y en el agua.

Aplicamos la Ley de Snell en cada interfaz.

Refracción del aire al vidrio

La Ley de Snell establece:

nairesin⁡(θi)=nvidriosin⁡(θvidrio)n_{\text{aire}} \sin(\theta_i) = n_{\text{vidrio}} \sin(\theta_{\text{vidrio}})

Sustituyendo los valores conocidos:

1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.50 \cdot \sin(\theta_{\text{vidrio}})
\sin(\theta_{\text{vidrio}}) = \frac{\sin(30^\circ)}{1.50} = \frac{0.5}{1.50} = \frac{1}{3}
θvidrio=arcsin⁡(13)≈19.47∘\theta_{\text{vidrio}} = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ
Refracción del vidrio al agua

El ángulo de incidencia en la interfaz vidrio-agua es el ángulo de refracción en el vidrio (θvidrio\theta_{\text{vidrio}}). Aplicamos de nuevo la Ley de Snell:

nvidriosin⁡(θvidrio)=naguasin⁡(θagua)n_{\text{vidrio}} \sin(\theta_{\text{vidrio}}) = n_{\text{agua}} \sin(\theta_{\text{agua}})

Sustituyendo los valores:

1.50 \cdot \sin(19.47^\circ) = 1.33 \cdot \sin(\theta_{\text{agua}})

Sabemos que 1.50⋅sin⁡(19.47∘)=1.50⋅(1/3)=0.51.50 \cdot \sin(19.47^\circ) = 1.50 \cdot (1/3) = 0.5. Por lo tanto:

0.5=1.33⋅sin⁡(θagua)0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_{\text{agua}})
sin⁡(θagua)=0.51.33≈0.3759\sin(\theta_{\text{agua}}) = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.3759
θagua=arcsin⁡(0.3759)≈22.09∘\theta_{\text{agua}} = \arcsin(0.3759) \approx 22.09^\circ
b) ii) Determinación de la longitud de onda y la velocidad del rayo en el vidrio y en el agua.

La velocidad de la luz en un medio con índice de refracción nn se calcula con la fórmula v=c/nv = c/n, donde cc es la velocidad de la luz en el vacío. La frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro. La longitud de onda en un medio se calcula como λm=λaire/nm\lambda_m = \lambda_{\text{aire}} / n_m.

En el vidrio

Velocidad de la luz en el vidrio:

vvidrio=cnvidrio=3⋅108 m⋅s−11.50=2⋅108 m⋅s−1v_{\text{vidrio}} = \frac{c}{n_{\text{vidrio}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{1.50} = 2 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Longitud de onda en el vidrio:

λvidrio=λairenvidrio=6⋅10−7 m1.50=4⋅10−7 m\lambda_{\text{vidrio}} = \frac{\lambda_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}} = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1.50} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ m}
En el agua

Velocidad de la luz en el agua:

vagua=cnagua=3⋅108 m⋅s−11.33≈2.2556⋅108 m⋅s−1v_{\text{agua}} = \frac{c}{n_{\text{agua}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{1.33} \approx 2.2556 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Longitud de onda en el agua:

λagua=λairenagua=6⋅10−7 m1.33≈4.5113⋅10−7 m\lambda_{\text{agua}} = \frac{\lambda_{\text{aire}}}{n_{\text{agua}}} = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1.33} \approx 4.5113 \cdot 10^{-7} \text{ m}