T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2018 · Extraordinaria · Suplente

2B-b

Una carga $q_1 = 8 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ está fija en el origen de coordenadas, mientras que otra carga, $q_2 = -10^{-9} \text{ C}$ , se halla, también fija, en el punto $(3,0) \text{ m}$ .

2. b) Determine: (i) El campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto

A (4,0) \text{ m}

; (ii) el trabajo realizado por el campo para desplazar una carga puntual

q = -2 \cdot 10^{-9} \text{ C}

desde

A (4,0) \text{ m}

hasta el punto

B (0,4) \text{ m}

. ¿Qué significado físico tiene el signo del trabajo?

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{C}^{-2}$

Campo eléctricoTrabajo eléctricoPotencial eléctrico

Campo eléctrico en A(4,0) m y trabajo para mover q de A a B

(i) Campo eléctrico en A(4,0) m

El campo eléctrico en un punto es la superposición vectorial de los campos creados por cada carga. Todas las cargas están sobre el eje X, por lo que los campos también son horizontales.Campo creado por $q_1$ en A. La distancia de $q_1$ (origen) a A(4,0) es $r_1 = 4$ m. Como $q_1 > 0$ , el campo apunta en sentido $+x$ :

E_1 = K\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9\cdot10^9 \cdot \frac{8\cdot10^{-9}}{4^2} = \frac{72}{16} = 4{,}5 \text{ N/C} \quad(\text{dirección }+x)

Campo creado por $q_2$ en A. La distancia de $q_2$ (3,0) a A(4,0) es $r_2 = 1$ m. Como $q_2 < 0$ , el campo apunta hacia $q_2$ , es decir, en sentido $-x$ :

E_2 = K\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\cdot10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{1^2} = 9 \text{ N/C} \quad(\text{dirección }-x)

Campo total en A (tomando $+x$ como positivo):

\vec{E}_A = (E_1 - E_2)\,\hat{i} = (4{,}5 - 9)\,\hat{i} = -4{,}5\,\hat{i} \text{ N/C}

El campo eléctrico resultante en A tiene módulo $4{,}5$ N/C y apunta en la dirección $-x$ (hacia $q_2$ , la carga negativa).

(ii) Trabajo realizado por el campo al desplazar q = −2·10⁻⁹ C desde A(4,0) hasta B(0,4)

El trabajo realizado por el campo eléctrico se calcula mediante la diferencia de energía potencial eléctrica:

W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B)

Calculamos el potencial en A(4,0) m debído a $q_1$ y $q_2$ :

V_A = K\frac{q_1}{r_{1A}} + K\frac{q_2}{r_{2A}} = 9\cdot10^9\cdot\frac{8\cdot10^{-9}}{4} + 9\cdot10^9\cdot\frac{-10^{-9}}{1}

V_A = 18 - 9 = 9 \text{ V}

Calculamos el potencial en B(0,4) m. Las distancias son: de $q_1$ (0,0) a B(0,4): $r_{1B} = 4$ m; de $q_2$ (3,0) a B(0,4): $r_{2B} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ m.

V_B = K\frac{q_1}{r_{1B}} + K\frac{q_2}{r_{2B}} = 9\cdot10^9\cdot\frac{8\cdot10^{-9}}{4} + 9\cdot10^9\cdot\frac{-10^{-9}}{5}

V_B = 18 - 1{,}8 = 16{,}2 \text{ V}

Trabajo realizado por el campo:

W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B) = (-2\cdot10^{-9})\cdot(9 - 16{,}2)

W_{A\to B} = (-2\cdot10^{-9})\cdot(-7{,}2) = 1{,}44\cdot10^{-8} \text{ J}

Significado físico del signo del trabajo

El trabajo es positivo ( $W > 0$ ). Esto significa que el campo eléctrico realiza trabajo a favor del desplazamiento de la carga $q$ desde A hasta B, es decir, la fuerza eléctrica tiene una componente en el sentido del movimiento. La energía potencial eléctrica de la carga disminuye ( $E_{p,A} > E_{p,B}$ ), y esa diferencia se convierte en energía cinética de la carga (si estuviera libre), o equivale a que el campo facilita el movimiento. En otras palabras, la carga se desplaza espontáneamente hacia una zona de menor energía potencial.