T1: Interacción gravitatoria

Órbitas circulares

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

A2-b

b) Se desea colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra de forma que su período orbital sea de

6 \text{ horas}

. Calcule razonadamente: i) ¿A qué altura sobre la superficie debe estar? ii) ¿Cuál será su velocidad orbital?

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$

período orbitalvelocidad orbitalsatélite

b) Para calcular la altura sobre la superficie y la velocidad orbital del satélite, primero convertimos el período orbital y el radio de la Tierra a unidades del Sistema Internacional (SI):

T = 6 \text{ horas} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ hora}} = 21600 \text{ s}

R_T = 6370 \text{ km} = 6370 \cdot 10^3 \text{ m} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ m}

i) Para determinar la altura sobre la superficie (

h

), primero calculamos el radio orbital (

r

) del satélite desde el centro de la Tierra. La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para la órbita:

F_g = F_c \Rightarrow \frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

La velocidad orbital ( $v$ ) de un satélite en una órbita circular también se relaciona con el período orbital ( $T$ ) y el radio orbital ( $r$ ) mediante:

v = \frac{2 \pi r}{T}

Sustituyendo la expresión de $v$ en la ecuación de fuerzas:

\frac{G M_T}{r^2} = \frac{1}{r} \left( \frac{2 \pi r}{T} \right)^2 \Rightarrow \frac{G M_T}{r^2} = \frac{4 \pi^2 r}{T^2} \Rightarrow G M_T T^2 = 4 \pi^2 r^3

Despejamos el radio orbital $r$ :

r^3 = \frac{G M_T T^2}{4 \pi^2}

Ahora, sustituimos los valores conocidos:

r^3 = \frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (5.98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) (21600 \text{ s})^2}{4 \pi^2}

r^3 = \frac{(6.67 \cdot 10^{-11}) (5.98 \cdot 10^{24}) (4.6656 \cdot 10^8)}{4 \pi^2}

r^3 = \frac{1.8573 \cdot 10^{23}}{39.4784} \approx 4.7047 \cdot 10^{21} \text{ m}^3

r = \sqrt[3]{4.7047 \cdot 10^{21} \text{ m}^3} \approx 1.675 \cdot 10^7 \text{ m}

La altura sobre la superficie de la Tierra ( $h$ ) se calcula restando el radio de la Tierra ( $R_T$ ) al radio orbital ( $r$ ):

h = r - R_T

h = 1.675 \cdot 10^7 \text{ m} - 6.37 \cdot 10^6 \text{ m}

h = 16.75 \cdot 10^6 \text{ m} - 6.37 \cdot 10^6 \text{ m} = (16.75 - 6.37) \cdot 10^6 \text{ m}

h = 10.38 \cdot 10^6 \text{ m} = 10380 \text{ km}

ii) La velocidad orbital (

v

) se puede calcular utilizando la relación entre el radio orbital y el período:

v = \frac{2 \pi r}{T}

Sustituyendo los valores de $r$ y $T$ :

v = \frac{2 \pi (1.675 \cdot 10^7 \text{ m})}{21600 \text{ s}}

v \approx 4873 \text{ m/s}

v \approx 4.87 \text{ km/s}