T3: Geometría · Problemas métricos — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Problemas métricos

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

Considera la recta $r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = 3 - z$ y el punto $P(0, 2, -4)$ .

a) Calcula el punto de

r

a menor distancia de

P

.b) Halla los puntos de

r

cuya distancia a

P

sea igual a

\sqrt{50}

Distancia de punto a rectaPuntos en una rectaGeometría analítica

Resolución del ejercicio de geometría en el espacio

En primer lugar, reescribimos la ecuación de la recta $r$ para identificar su vector director y obtener sus ecuaciones paramétricas. La expresión $3 - z$ debe escribirse como $-(z - 3)$ para ajustarse a la forma continua estándar:

r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-1}

De aquí obtenemos el vector director $\vec{v}_r = (2, 2, -1)$ y un punto genérico $Q$ de la recta dependiente del parámetro $\lambda$ :

Q(-1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda, 3 - \lambda)

a) Calcula el punto de

r

a menor distancia de

P

El punto de la recta $r$ a menor distancia de $P(0, 2, -4)$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta. Para hallarlo, definimos el vector $\vec{PQ}$ y exigimos que sea perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$ :

\vec{PQ} = Q - P = (-1 + 2\lambda - 0, 2 + 2\lambda - 2, 3 - \lambda - (-4)) = (-1 + 2\lambda, 2\lambda, 7 - \lambda)

Aplicamos la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar:

\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (-1 + 2\lambda) \cdot 2 + (2\lambda) \cdot 2 + (7 - \lambda) \cdot (-1) = 0

Resolvemos la ecuación resultante:

-2 + 4\lambda + 4\lambda - 7 + \lambda = 0 \implies 9\lambda - 9 = 0 \implies \lambda = 1

Sustituyendo $\lambda = 1$ en las coordenadas de $Q$ , obtenemos el punto de mínima distancia:

Q = (-1 + 2(1), 2 + 2(1), 3 - 1) = (1, 4, 2)

b) Halla los puntos de

r

cuya distancia a

P

sea igual a

\sqrt{50}

Buscamos los puntos $X$ de la recta tales que $d(P, X) = \sqrt{50}$ . Utilizando el vector genérico $\vec{PX}$ (que tiene la misma forma que $\vec{PQ}$ hallado anteriormente), planteamos que el cuadrado de su módulo sea 50:

(-1 + 2\lambda)^2 + (2\lambda)^2 + (7 - \lambda)^2 = 50

Desarrollamos las identidades notables y simplificamos:

(1 - 4\lambda + 4\lambda^2) + 4\lambda^2 + (49 - 14\lambda + \lambda^2) = 50

9\lambda^2 - 18\lambda + 50 = 50 \implies 9\lambda^2 - 18\lambda = 0

Factorizamos la ecuación para encontrar los valores de $\lambda$ :

9\lambda(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2

Para cada valor de $\lambda$ , obtenemos un punto de la recta:Si $\lambda_1 = 0 \implies X_1 = (-1, 2, 3)$ Si $\lambda_2 = 2 \implies X_2 = (-1 + 2(2), 2 + 2(2), 3 - 2) = (3, 6, 1)$