T3: Vibraciones y ondas

Movimiento Armónico Simple

Problema

2016 · Ordinaria · Reserva

4A-b

Un bloque de masa $m = 10 \text{ kg}$ realiza un movimiento armónico simple. En la figura adjunta se representa su elongación, $y$ , en función del tiempo, $t$ .

b) Determine la velocidad y la aceleración del bloque en el instante

t = 5 \text{ s}

Cinemática MASVelocidadAceleración

Análisis de la gráfica y(t)

De la gráfica se extraen los siguientes datos:

Amplitud:

A = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}

Periodo:

T = 20 \text{ s}

(se observa que un ciclo completo ocupa de

t = 0

t = 20

La frecuencia angular vale:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0{,}314 \text{ rad/s}

La ecuación del movimiento, dado que en $t = 0$ la elongación es $y = 0$ y la función comienza creciendo (seno), es:

y(t) = A \sin(\omega t) = 0{,}05 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{10}\, t\right) \text{ (m)}

b) Velocidad y aceleración en t = 5 s

La expresión general de la velocidad se obtiene derivando $y(t)$ :

v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t) = 0{,}05 \cdot \frac{\pi}{10} \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{10}\, t\right)

Evaluando en $t = 5$ s:

v(5) = 0{,}05 \cdot \frac{\pi}{10} \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{10} \cdot 5\right) = 0{,}005\pi \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0{,}005\pi \cdot 0 = 0 \text{ m/s}

La expresión general de la aceleración se obtiene derivando $v(t)$ :

a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = -0{,}05 \cdot \left(\frac{\pi}{10}\right)^2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{10}\, t\right)

Evaluando en $t = 5$ s:

a(5) = -0{,}05 \cdot \frac{\pi^2}{100} \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{0{,}05\,\pi^2}{100} \cdot 1 = -\frac{\pi^2}{2000}

a(5) \approx -0{,}00493 \text{ m/s}^2 \approx -4{,}93 \times 10^{-3} \text{ m/s}^2

El signo negativo indica que la aceleración apunta hacia el equilibrio (sentido negativo de $y$ ), lo cual es coherente con que en $t = 5$ s el bloque se encuentra en la elongación máxima positiva ( $y = A = 0{,}05$ m).Resultados:

Velocidad en

t = 5

v = 0 \text{ m/s}

(el bloque está momentáneamente en reposo en el extremo de su oscilación).Aceleración en

t = 5

a \approx -4{,}93 \times 10^{-3} \text{ m/s}^2

(dirigida hacia la posición de equilibrio).