T2: Interacción electromagnética

Fuerza de Lorentz

Teoría

2018 · Ordinaria · Titular

2B-a

a) Un electrón se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme por una región del espacio en la que existen un campo eléctrico y un campo magnético. Justifique cual deberá ser la dirección y sentido de ambos campos y deduzca la relación entre sus módulos. ¿Qué cambiaría si la partícula fuese un protón?

Selector de velocidadesCampo eléctricoCampo magnético

Selector de velocidades: electrón en equilibrio bajo campo eléctrico y magnético

Para que el electrón se mueva con movimiento rectilíneo uniforme (MRU), la fuerza neta sobre él debe ser nula. Esto significa que la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben ser iguales y opuestas:

\vec{F}_{neta} = \vec{F}_E + \vec{F}_B = \vec{0}

Análisis de direcciones y sentidos

Supongamos que el electrón (carga $q = -e$ ) se mueve en la dirección del eje $+x$ con velocidad $\vec{v} = v\,\hat{i}$ .La fuerza eléctrica sobre el electrón es $\vec{F}_E = q\vec{E} = -e\vec{E}$ . Para que esta fuerza apunte, por ejemplo, en la dirección $+y$ , el campo eléctrico debe apuntar en $-y$ (ya que la carga del electrón es negativa).La fuerza magnética sobre el electrón es $\vec{F}_B = q(\vec{v}\times\vec{B}) = -e(\vec{v}\times\vec{B})$ . Para que $\vec{F}_B$ apunte en $-y$ (compensando $\vec{F}_E$ ), con $\vec{v}$ en $+x$ , el campo $\vec{B}$ debe apuntar en la dirección $+z$ (saliente). Comprobamos:

\vec{v}\times\vec{B} = v\,\hat{i}\times B\,\hat{k} = vB\,(\hat{i}\times\hat{k}) = -vB\,\hat{j}

\vec{F}_B = -e\cdot(-vB\,\hat{j}) = evB\,\hat{j} \quad \Rightarrow \text{ apunta en } +y

Esto contradice lo que buscábamos. Ajustando: si $\vec{B}$ apunta en $-z$ (entrante):

\vec{v}\times\vec{B} = v\,\hat{i}\times(-B\,\hat{k}) = -vB\,(\hat{i}\times\hat{k}) = vB\,\hat{j}

\vec{F}_B = -e\cdot(vB\,\hat{j}) = -evB\,\hat{j} \quad \Rightarrow \text{ apunta en } -y

Y con $\vec{E}$ apuntando en $+y$ : $\vec{F}_E = -e\cdot E\,\hat{j}$ apunta en $-y$ . Esto no equilibra. Probamos con $\vec{E}$ en $+y$ para que $\vec{F}_E = -eE\hat{j}$ y $\vec{F}_B = +evB\hat{j}$ ... La condición correcta de equilibrio es:Las fuerzas eléctrica y magnética deben tener igual módulo y sentidos opuestos. La conclusión general es:

El campo eléctrico

\vec{E}

debe ser perpendicular a la velocidad del electrón.El campo magnético

\vec{B}

debe ser perpendicular tanto a

\vec{v}

como a

\vec{E}

(los tres forman una terna ortogonal).El sentido de

\vec{B}

debe escogerse de modo que

\vec{F}_B

sea opuesta a

\vec{F}_E

sobre el electrón.

En el diagrama: el electrón se mueve hacia la derecha ( $+x$ ), $\vec{B}$ es entrante ( $-z$ ). La fuerza magnética $\vec{F}_B = -e(\vec{v}\times\vec{B})$ apunta hacia arriba ( $+y$ ), por lo que el campo eléctrico $\vec{E}$ debe apuntar hacia abajo ( $-y$ ) para que $\vec{F}_E = -e\vec{E}$ apunte hacia arriba y se cancelen exactamente.

Relación entre los módulos de los campos

La condición de equilibrio impone que los módulos de ambas fuerzas sean iguales:

|\vec{F}_E| = |\vec{F}_B|

eE = evB

\boxed{E = vB}

Esta relación es independiente de la carga de la partícula (solo depende de la velocidad). El dispositivo actúa como un selector de velocidades: solo pasan en línea recta las partículas con velocidad $v = E/B$ .

¿Qué cambia si la partícula es un protón?

El protón tiene carga $q = +e$ . Las fuerzas eléctricas y magnéticas actúan ahora en sentidos contrarios a los del electrón para cada campo dado. Por tanto:

La relación entre módulos

E = vB

no cambia, ya que la carga

e

se cancela en ambos lados de la ecuación de equilibrio.Sin embargo, para conseguir el equilibrio con la misma orientación de

\vec{E}

\vec{B}

, el sentido de la velocidad del protón tendría que ser el opuesto al del electrón, o bien habría que invertir la dirección de uno de los dos campos.

En resumen: si en el mismo dispositivo se sustituye el electrón por un protón moviéndose en el mismo sentido, las fuerzas (eléctrica y magnética) se invertirían respecto al caso del electrón, de modo que ya no habría equilibrio. Para restablecer el MRU habría que invertir la dirección de $\vec{E}$ o de $\vec{B}$ . La condición sobre los módulos $E = vB$ permanece inalterada.