T5: Integrales · Primitivas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Primitivas

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

Determina la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$ , $f'(e) = e$ y $f''(x) = 2 \ln(x) + 1$ , para todo $x > 0$ ( $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

IntegralesDerivadasLogaritmo neperiano+1

Cálculo de la primera derivada $f'(x)$

Dada la segunda derivada $f''(x) = 2 \ln(x) + 1$ , integramos para hallar la expresión de la primera derivada:

f'(x) = \int (2 \ln(x) + 1) dx = 2 \int \ln(x) dx + \int 1 dx

Para resolver $\int \ln(x) dx$ utilizamos el método de integración por partes, obteniendo $x \ln(x) - x$ . Por tanto:

f'(x) = 2(x \ln(x) - x) + x + C_1 = 2x \ln(x) - 2x + x + C_1 = 2x \ln(x) - x + C_1

Para determinar la constante $C_1$ , utilizamos el dato $f'(e) = e$ :

f'(e) = 2e \ln(e) - e + C_1 = 2e(1) - e + C_1 = 2e - e + C_1 = e + C_1

Como $f'(e) = e$ , entonces $e + C_1 = e$ , lo que implica que $C_1 = 0$ . La función derivada es:

f'(x) = 2x \ln(x) - x

Cálculo de la función $f(x)$

Integramos la primera derivada para obtener la función $f(x)$ :

f(x) = \int (2x \ln(x) - x) dx = 2 \int x \ln(x) dx - \int x dx

Resolvemos $\int x \ln(x) dx$ por partes, tomando $u = \ln(x)$ y $dv = x dx$ . Entonces $du = \frac{1}{x} dx$ y $v = \frac{x^2}{2}$ :

\int x \ln(x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4}

Sustituimos este resultado en la integral de $f(x)$ :

f(x) = 2 \left( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right) - \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 \ln(x) - \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 \ln(x) - x^2 + C_2

Para determinar la constante $C_2$ , usamos el punto $(1, 0)$ , es decir, $f(1) = 0$ :

f(1) = 1^2 \ln(1) - 1^2 + C_2 = 0 - 1 + C_2 = -1 + C_2

Igualando a cero, $-1 + C_2 = 0 \implies C_2 = 1$ . Por lo tanto, la función buscada es:

f(x) = x^2 \ln(x) - x^2 + 1