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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico
Problema
2022 · Extraordinaria · Suplente
B1-b
Examen
b) Dos partículas idénticas con carga q=−2⋅10−6 Cq = - 2 \cdot 10^{-6} \text{ C} están fijas en los puntos A(1,0) mA(1,0) \text{ m} y B(1,2) mB(1,2) \text{ m}. Determine en el punto C(2,1) mC(2,1) \text{ m}: i) el vector campo eléctrico y ii) el potencial eléctrico.

Dato: K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

vector campo eléctricopotencial eléctrico
b) i) Determinación del vector campo eléctrico en el punto C(2,1) mC(2,1) \text{ m}:

Las dos partículas idénticas tienen carga q=−2⋅10−6 Cq = -2 \cdot 10^{-6} \text{ C}. Para calcular el vector campo eléctrico total en el punto CC, debemos calcular el campo eléctrico generado por cada carga por separado y luego sumarlos vectorialmente. La fórmula para el campo eléctrico generado por una carga puntual es:

E⃗=Kqr3r⃗\vec{E} = K \frac{q}{r^3} \vec{r}

donde KK es la constante de Coulomb, qq es la carga, r⃗\vec{r} es el vector posición desde la carga al punto donde se calcula el campo, y rr es la magnitud de r⃗\vec{r}.Calculamos los vectores posición de cada carga al punto CC y sus magnitudes:

r⃗AC=C−A=(2−1)i^+(1−0)j^=(1i^+1j^) m\vec{r}_{AC} = C - A = (2-1)\hat{i} + (1-0)\hat{j} = (1\hat{i} + 1\hat{j}) \text{ m}
rAC=∣r⃗AC∣=12+12=2 mr_{AC} = |\vec{r}_{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}
r⃗BC=C−B=(2−1)i^+(1−2)j^=(1i^−1j^) m\vec{r}_{BC} = C - B = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} = (1\hat{i} - 1\hat{j}) \text{ m}
rBC=∣r⃗BC∣=12+(−1)2=2 mr_{BC} = |\vec{r}_{BC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \text{ m}

Ahora calculamos el campo eléctrico generado por cada carga en el punto CC:

E⃗A=KqrAC3r⃗AC\vec{E}_A = K \frac{q}{r_{AC}^3} \vec{r}_{AC}
E⃗A=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)−2⋅10−6 C(2 m)3(1i^+1j^) m\vec{E}_A = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{-2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(\sqrt{2} \text{ m})^3} (1\hat{i} + 1\hat{j}) \text{ m}
E⃗A=(9⋅109)−2⋅10−622(i^+j^) N/C\vec{E}_A = (9 \cdot 10^9) \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{2\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ N/C}
E⃗A=−18⋅10322(i^+j^) N/C=−90002(i^+j^) N/C\vec{E}_A = \frac{-18 \cdot 10^3}{2\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ N/C} = \frac{-9000}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ N/C}
E⃗A=−45002(i^+j^) N/C≈(−6363.96i^−6363.96j^) N/C\vec{E}_A = -4500\sqrt{2} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ N/C} \approx (-6363.96\hat{i} - 6363.96\hat{j}) \text{ N/C}
E⃗B=KqrBC3r⃗BC\vec{E}_B = K \frac{q}{r_{BC}^3} \vec{r}_{BC}
E⃗B=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)−2⋅10−6 C(2 m)3(1i^−1j^) m\vec{E}_B = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{-2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(\sqrt{2} \text{ m})^3} (1\hat{i} - 1\hat{j}) \text{ m}
E⃗B=(9⋅109)−2⋅10−622(i^−j^) N/C\vec{E}_B = (9 \cdot 10^9) \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{2\sqrt{2}} (\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C}
E⃗B=−18⋅10322(i^−j^) N/C=−90002(i^−j^) N/C\vec{E}_B = \frac{-18 \cdot 10^3}{2\sqrt{2}} (\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C} = \frac{-9000}{\sqrt{2}} (\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C}
E⃗B=−45002(i^−j^) N/C≈(−6363.96i^+6363.96j^) N/C\vec{E}_B = -4500\sqrt{2} (\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C} \approx (-6363.96\hat{i} + 6363.96\hat{j}) \text{ N/C}

El vector campo eléctrico total en el punto CC es la suma vectorial de E⃗A\vec{E}_A y E⃗B\vec{E}_B:

E⃗C=E⃗A+E⃗B\vec{E}_C = \vec{E}_A + \vec{E}_B
E⃗C=−45002(i^+j^)+(−45002)(i^−j^) N/C\vec{E}_C = -4500\sqrt{2} (\hat{i} + \hat{j}) + (-4500\sqrt{2}) (\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C}
E⃗C=(−45002i^−45002j^)+(−45002i^+45002j^) N/C\vec{E}_C = (-4500\sqrt{2}\hat{i} - 4500\sqrt{2}\hat{j}) + (-4500\sqrt{2}\hat{i} + 4500\sqrt{2}\hat{j}) \text{ N/C}
E⃗C=(−45002−45002)i^+(−45002+45002)j^ N/C\vec{E}_C = (-4500\sqrt{2} - 4500\sqrt{2})\hat{i} + (-4500\sqrt{2} + 4500\sqrt{2})\hat{j} \text{ N/C}
E⃗C=−90002i^ N/C\vec{E}_C = -9000\sqrt{2}\hat{i} \text{ N/C}
E⃗C≈−12727.92i^ N/C\vec{E}_C \approx -12727.92\hat{i} \text{ N/C}
XY-q_A-q_BCE1E2E_neta
b) ii) Determinación del potencial eléctrico en el punto C(2,1) mC(2,1) \text{ m}:

El potencial eléctrico debido a una carga puntual se calcula mediante la fórmula:

V=KqrV = K \frac{q}{r}

donde rr es la distancia de la carga al punto. Las distancias rACr_{AC} y rBCr_{BC} ya fueron calculadas y ambas son 2 m\sqrt{2} \text{ m}. Calculamos el potencial eléctrico generado por cada carga en el punto CC:

VA=KqrACV_A = K \frac{q}{r_{AC}}
VA=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)−2⋅10−6 C2 mV_A = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{-2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{\sqrt{2} \text{ m}}
VA=−18⋅1032 V=−90002 VV_A = \frac{-18 \cdot 10^3}{\sqrt{2}} \text{ V} = -9000\sqrt{2} \text{ V}
VB=KqrBCV_B = K \frac{q}{r_{BC}}
VB=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)−2⋅10−6 C2 mV_B = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{-2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{\sqrt{2} \text{ m}}
VB=−18⋅1032 V=−90002 VV_B = \frac{-18 \cdot 10^3}{\sqrt{2}} \text{ V} = -9000\sqrt{2} \text{ V}

El potencial eléctrico total en el punto CC es la suma escalar de VAV_A y VBV_B:

VC=VA+VBV_C = V_A + V_B
VC=−90002 V+(−90002 V)V_C = -9000\sqrt{2} \text{ V} + (-9000\sqrt{2} \text{ V})
VC=−180002 VV_C = -18000\sqrt{2} \text{ V}
VC≈−25455.84 VV_C \approx -25455.84 \text{ V}