T5: Probabilidad · Operaciones con sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Operaciones con sucesos

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

En una comunidad de vecinos, el $90 \%$ de sus miembros tiene vehículo propio, el $40 \ \%$ hace uso del transporte público y un $3 \ \%$ ni tiene vehículo propio ni usa el transporte público. Se elige al azar un miembro de esa comunidad.

a) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.b) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.c) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio.

Unión de sucesosIntersección de sucesosProbabilidad condicionada

Sean los siguientes eventos: $V$ : El miembro tiene vehículo propio. $T$ : El miembro usa el transporte público.Según los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(V) = 0,90

P(T) = 0,40

P(V^c \cap T^c) = 0,03

a) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.

La probabilidad de que un miembro tenga vehículo propio o use el transporte público se representa como $P(V \cup T)$ . Sabemos que el evento de no tener vehículo propio ni usar el transporte público es el complemento de tener vehículo propio o usar el transporte público, es decir, $P(V^c \cap T^c) = P((V \cup T)^c)$ . Por lo tanto:

P(V \cup T) = 1 - P((V \cup T)^c)

P(V \cup T) = 1 - P(V^c \cap T^c)

P(V \cup T) = 1 - 0,03

P(V \cup T) = 0,97

b) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.

Este evento se representa como $P(T \cap V^c)$ . Utilizaremos la relación $P(A \cup B) = P(A) + P(B \cap A^c)$ . En nuestro caso, $P(V \cup T) = P(V) + P(T \cap V^c)$ . Despejando $P(T \cap V^c)$ :

P(T \cap V^c) = P(V \cup T) - P(V)

Con los valores calculados en el apartado a) y los datos iniciales:

P(T \cap V^c) = 0,97 - 0,90

P(T \cap V^c) = 0,07

c) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio.

Esta es una probabilidad condicionada y se representa como $P(T | V^c)$ . La fórmula para la probabilidad condicionada es $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . En este caso:

P(T | V^c) = \frac{P(T \cap V^c)}{P(V^c)}

Primero, calculamos $P(V^c)$ , la probabilidad de no tener vehículo propio:

P(V^c) = 1 - P(V)

P(V^c) = 1 - 0,90

P(V^c) = 0,10

Ahora, sustituimos los valores de $P(T \cap V^c)$ (calculado en el apartado b)) y $P(V^c)$ en la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(T | V^c) = \frac{0,07}{0,10}

P(T | V^c) = 0,7