T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio y órbitas

Teoría

2017 · Extraordinaria · Suplente

1B-a

a) Supongamos que la Tierra reduce su radio a la mitad manteniendo constante su masa. Razone cómo se modificarían la intensidad del campo gravitatorio en su superficie y su órbita alrededor del Sol.

Radio terrestreIntensidad de campo

a) Análisis del efecto de reducir el radio de la Tierra a la mitad manteniendo su masa constante.

1. Intensidad del campo gravitatorio en la superficie

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta se define como:

g = \frac{GM}{R^2}

donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ es la masa de la Tierra y $R$ es su radio.Si el radio se reduce a la mitad, $R' = \dfrac{R}{2}$ , manteniendo $M$ constante:

g' = \frac{GM}{R'^2} = \frac{GM}{\left(\dfrac{R}{2}\right)^2} = \frac{GM}{\dfrac{R^2}{4}} = 4\cdot\frac{GM}{R^2} = 4g

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie se multiplicaría por 4 (se cuadruplicaría). Esto se debe a que $g$ depende del inverso del cuadrado del radio: al reducir $R$ a la mitad, $g$ aumenta un factor $2^2 = 4$ .

2. Órbita de la Tierra alrededor del Sol

La órbita de la Tierra alrededor del Sol está determinada por la interacción gravitatoria entre la Tierra y el Sol. La fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre la Tierra es:

F = \frac{GM_{Sol}\cdot M_{Tierra}}{r^2}

donde $r$ es la distancia Tierra-Sol. Esta fuerza no depende del radio de la Tierra, sino de su masa $M_{Tierra}$ y de la distancia al Sol $r$ . Puesto que la masa de la Tierra permanece constante, la fuerza gravitatoria del Sol sobre ella no cambia.La órbita de la Tierra (su radio orbital, su período de traslación, etc.) viene determinada únicamente por la masa del Sol y la distancia Tierra-Sol, no por el tamaño físico del planeta. Por tanto, la órbita de la Tierra alrededor del Sol no se vería modificada en absoluto.

Conclusión

Al reducir el radio terrestre a la mitad con masa constante:

– La intensidad del campo gravitatorio superficial se cuadruplicaría:

g' = 4g

.– La órbita de la Tierra alrededor del Sol no cambiaría, ya que depende de la masa del planeta y de su distancia al Sol, no de su radio.