T5: Integrales · Cálculo de integrales y Teorema Fundamental del Cálculo

Cálculo de integrales y Teorema Fundamental del Cálculo

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(t) = \frac{1}{1 + e^t}$

a) Calcula

\int f(t)dt

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable

x = 1 + e^t

).b) Se define

g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt

. Calcula

\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}

Cambio de variableLímitesRegla de L'Hôpital

a) Calcula

\int f(t)dt

Realizamos el cambio de variable sugerido: $x = 1 + e^t$ . Para ello, necesitamos calcular $dx$ y expresar $dt$ en función de $dx$ y $x$ . Además, $e^t = x - 1$ .

dx = e^t dt \implies dt = \frac{dx}{e^t} = \frac{dx}{x - 1}

Sustituimos en la integral:

\int f(t)dt = \int \frac{1}{1 + e^t} dt = \int \frac{1}{x} \frac{dx}{x - 1} = \int \frac{1}{x(x - 1)} dx

Descomponemos la fracción en fracciones simples:

\frac{1}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} \Rightarrow 1 = A(x - 1) + Bx

Para $x = 0$ : $1 = A(-1) \Rightarrow A = -1$ . Para $x = 1$ : $1 = B(1) \Rightarrow B = 1$ .La integral se convierte en:

\int \left(\frac{-1}{x} + \frac{1}{x - 1}\right) dx = -\ln|x| + \ln|x - 1| + C = \ln\left|\frac{x - 1}{x}\right| + C

Ahora, sustituimos $x = 1 + e^t$ de nuevo en el resultado:

\ln\left|\frac{(1 + e^t) - 1}{1 + e^t}\right| + C = \ln\left|\frac{e^t}{1 + e^t}\right| + C

Dado que $e^t > 0$ y $1 + e^t > 0$ , podemos eliminar el valor absoluto. Además, podemos simplificar el logaritmo:

\ln\left(\frac{e^t}{1 + e^t}\right) + C = \ln(e^t) - \ln(1 + e^t) + C = t - \ln(1 + e^t) + C

b) Calcula

\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}

Tenemos $g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$ . Cuando $x \to 0$ , $g(x) \to \int_{0}^{0} f(t)dt = 0$ . Por lo tanto, el límite es de la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ . Podemos aplicar la regla de L'Hôpital.

\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{1}

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, si $g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$ , entonces $g'(x) = f(x)$ .

g'(x) = f(x) = \frac{1}{1 + e^x}

Sustituimos $g'(x)$ en el límite:

\lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{1} = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + e^x}

Evaluamos la función en $x = 0$ :

\frac{1}{1 + e^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}