T4: Funciones · Aplicaciones de la derivada — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Aplicaciones de la derivada

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Sea la función $f : [-2, 2] \to \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = x^3 - 2x + 5$ .

a) Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos

(-2, f(-2))

(2, f(2))

.b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de inflexión.

Recta tangentePunto de inflexiónDerivadas

Resolución del ejercicio de Funciones

a) Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos

(-2, f(-2))

(2, f(2))

Primero, calculamos las imágenes de los extremos del intervalo en la función $f(x) = x^3 - 2x + 5$ :

f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 5 = -8 + 4 + 5 = 1

f(2) = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(-2, 1)$ y $(2, 9)$ viene dada por la tasa de variación media:

m_{sec} = \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2

Buscamos los puntos $x$ donde la pendiente de la recta tangente, dada por la derivada $f'(x)$ , sea igual a $2$ . Calculamos la derivada de la función:

f'(x) = 3x^2 - 2

Igualamos la derivada a la pendiente calculada y resolvemos para $x$ :

3x^2 - 2 = 2 \implies 3x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}

Ambas soluciones, $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ y $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ , pertenecen al intervalo $(-2, 2)$ , por lo que estas son las abscisas buscadas.

b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de inflexión.

Para hallar el punto de inflexión, calculamos la segunda derivada e igualamos a cero:

f''(x) = 6x \implies 6x = 0 \implies x = 0

Comprobamos que es un punto de inflexión ya que $f'''(0) = 6 \neq 0$ . Calculamos la ordenada del punto y la pendiente de la tangente en dicho punto:

f(0) = 0^3 - 2(0) + 5 = 5 \quad \text{Punto: } (0, 5)

m_{tan} = f'(0) = 3(0)^2 - 2 = -2

La ecuación de la recta tangente en $(0, 5)$ es:

y - 5 = -2(x - 0) \implies y = -2x + 5

Para la recta normal, la pendiente es la inversa y opuesta de la tangente:

m_{norm} = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}

La ecuación de la recta normal en $(0, 5)$ es:

y - 5 = \frac{1}{2}(x - 0) \implies y = \frac{1}{2}x + 5