Se considera el sistema de ecuaciones lineales, cuya matriz de coeficientes $A$ y matriz ampliada $A|b$ son:

Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$:

Analizamos los diferentes casos:Caso 1: Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$.En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de $A$ es 3. Como el número de incógnitas es 3, el rango de $A|b$ también es 3. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es Compatible Determinado (SCD), tiene una única solución.Caso 2: Si $m = 0$.La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Calculamos el rango de $A$. Como $|A|=0$, el rango de $A$ es menor que 3. Tomamos el menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$$. Por lo tanto, el rango de $A$ es 2.Calculamos el rango de $A|b$. Observamos que la primera ecuación es $z=1$ y la tercera es $-3z=-3$, que también implica $z=1$. Las filas correspondientes a estas ecuaciones son linealmente dependientes en el contexto de la matriz ampliada (la tercera fila es $-3$ veces la primera, si se considera solo $z$ y el término independiente). Al considerar la matriz $A|b$, el menor $$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix}$$ (columnas 1,2,3) es 0. El menor formado por las columnas 1, 2, 4 es $$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$$. De hecho, cualquier menor de orden 3 de $A|b$ es 0. Alternativamente, como las ecuaciones $z=1$ y $-3z=-3$ son equivalentes, el sistema se reduce a 2 ecuaciones linealmente independientes ($z=1$ y $5x+2y=0$). Así, el rango de $A|b$ es 2.Como el rango de $A$ es 2, el rango de $A|b$ es 2 y el número de incógnitas es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es Compatible Indeterminado (SCI), tiene infinitas soluciones.Caso 3: Si $m = 2$.La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Calculamos el rango de $A$. Como $|A|=0$, el rango de $A$ es menor que 3. Tomamos el menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 10 \neq 0$$. Por lo tanto, el rango de $A$ es 2.Calculamos el rango de $A|b$. Tomamos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4:

Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A|b$, el rango de $A|b$ es 3.Como el rango de $A$ es 2 y el rango de $A|b$ es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es Incompatible (SI), no tiene solución.

Para $m=0$, el sistema es Compatible Indeterminado, y sus ecuaciones son:

Simplificando, obtenemos:

De la primera y tercera ecuación, obtenemos directamente $z = 1$. Sustituyendo este valor en las ecuaciones restantes (solo queda la segunda):

Podemos expresar $x$ en términos de $y$ (o viceversa). Sea $y = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$ es un parámetro. Entonces:

La solución general del sistema para $m=0$ es:

Para calcular una solución en la que $y = 5$, sustituimos $\lambda = 5$ en la solución general:

La solución particular en la que $y = 5$ es $(-2, 5, 1)$.