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T5: Integrales
Cálculo de áreas
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
4
Examen

Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=1−x2f(x) = 1 - x^2 y g(x)=2x2g(x) = 2x^2.

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Esboza el recinto que delimitan.b) Determina el área del recinto anterior.
IntegralesÁreaCorte de gráficas
a) Para calcular los puntos de corte de las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x), igualamos ambas funciones:
f(x)=g(x)f(x) = g(x)
1−x2=2x21 - x^2 = 2x^2
1=3x21 = 3x^2
x2=13x^2 = \frac{1}{3}
x=±13=±13=±33x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Ahora, sustituimos estos valores de xx en cualquiera de las funciones para obtener las coordenadas yy de los puntos de corte. Usaremos f(x)f(x):

Si x=33:y=f(33)=1−(33)2=1−39=1−13=23\text{Si } x = \frac{\sqrt{3}}{3}: y = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Si x=−33:y=f(−33)=1−(−33)2=1−39=1−13=23\text{Si } x = -\frac{\sqrt{3}}{3}: y = f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Los puntos de corte de las gráficas de ff y gg son (−33,23)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right) y (33,23)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right).Esbozo del recinto:La función f(x)=1−x2f(x) = 1 - x^2 es una parábola que se abre hacia abajo, con su vértice en (0,1)(0,1) y cortes con el eje xx en (±1,0)(\pm 1, 0).La función g(x)=2x2g(x) = 2x^2 es una parábola que se abre hacia arriba, con su vértice en (0,0)(0,0).El recinto delimitado por ambas gráficas es la región encerrada entre las dos parábolas, siendo f(x)f(x) la función superior y g(x)g(x) la función inferior en el intervalo de los puntos de corte [−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]. La región es simétrica con respecto al eje yy.

b) Para determinar el área del recinto, integramos la diferencia de las funciones en el intervalo de los puntos de corte. En este intervalo, f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x).
A=∫−3333(f(x)−g(x))dxA = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} (f(x) - g(x)) dx
A=∫−3333((1−x2)−(2x2))dxA = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} ((1 - x^2) - (2x^2)) dx
A=∫−3333(1−3x2)dxA = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} (1 - 3x^2) dx

Dado que la función integrando 1−3x21 - 3x^2 es par y el intervalo de integración es simétrico con respecto al origen, podemos escribir:

A=2∫033(1−3x2)dxA = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} (1 - 3x^2) dx
A=2[x−3x33]033A = 2 \left[ x - 3\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}
A=2[x−x3]033A = 2 \left[ x - x^3 \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}
A=2[(33−(33)3)−(0−03)]A = 2 \left[ \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3\right) - (0 - 0^3) \right]
A=2[33−3327]A = 2 \left[ \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{27} \right]
A=2[33−39]A = 2 \left[ \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} \right]
A=2[33−39]A = 2 \left[ \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{9} \right]
A=2[239]A = 2 \left[ \frac{2\sqrt{3}}{9} \right]
A=439A = \frac{4\sqrt{3}}{9}

El área del recinto es 439\frac{4\sqrt{3}}{9} unidades cuadradas.