T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Probabilidad condicionada

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

Una tienda vende caramelos con sabor a frutas (naranja o limón) y a menta. El $60 \ \%$ son azucarados y de estos el $25 \ \%$ son de limón. De los no azucarados, el $40 \ \%$ son de naranja, el $30 \ \%$ son de limón y el resto de menta. Además, el $40 \ \%$ de todos los caramelos son de naranja. Se escoge un caramelo al azar de esa tienda.

a) Calcule la probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado.b) Razone si es más probable que sea de sabor a frutas o a menta.

Probabilidad condicionadaDiagrama de árbol

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El caramelo es azucarado. $NA$ : El caramelo no es azucarado (complementario de $A$ ). Además, $P(NA) = 1 - P(A)$ . $N$ : El caramelo es de naranja. $L$ : El caramelo es de limón. $M$ : El caramelo es de menta.A partir de la información dada, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.60 \implies P(NA) = 1 - 0.60 = 0.40

P(L|A) = 0.25

P(N|NA) = 0.40

P(L|NA) = 0.30

P(M|NA) = 1 - P(N|NA) - P(L|NA) = 1 - 0.40 - 0.30 = 0.30

P(N) = 0.40

Calculamos las probabilidades de las intersecciones:

P(L \cap A) = P(L|A) \cdot P(A) = 0.25 \cdot 0.60 = 0.15

P(N \cap NA) = P(N|NA) \cdot P(NA) = 0.40 \cdot 0.40 = 0.16

P(L \cap NA) = P(L|NA) \cdot P(NA) = 0.30 \cdot 0.40 = 0.12

P(M \cap NA) = P(M|NA) \cdot P(NA) = 0.30 \cdot 0.40 = 0.12

Utilizando la probabilidad total para $P(N)$ :

P(N) = P(N \cap A) + P(N \cap NA)

0.40 = P(N \cap A) + 0.16 \implies P(N \cap A) = 0.40 - 0.16 = 0.24

Para los caramelos azucarados, la suma de las probabilidades debe ser $P(A)$ :

P(A) = P(N \cap A) + P(L \cap A) + P(M \cap A)

0.60 = 0.24 + 0.15 + P(M \cap A)

0.60 = 0.39 + P(M \cap A) \implies P(M \cap A) = 0.60 - 0.39 = 0.21

Resumen de probabilidades de intersección:

P(N \cap A) = 0.24

P(L \cap A) = 0.15

P(M \cap A) = 0.21

P(N \cap NA) = 0.16

P(L \cap NA) = 0.12

P(M \cap NA) = 0.12

a) Calcule la probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado.

Se nos pide calcular $P(N|A)$ :

P(N|A) = \frac{P(N \cap A)}{P(A)} = \frac{0.24}{0.60} = 0.40

b) Razone si es más probable que sea de sabor a frutas o a menta.

Los caramelos de sabor a frutas son los de naranja o los de limón. Calculamos la probabilidad de que sea de naranja, de limón y de menta:

P(N) = P(N \cap A) + P(N \cap NA) = 0.24 + 0.16 = 0.40

P(L) = P(L \cap A) + P(L \cap NA) = 0.15 + 0.12 = 0.27

P(M) = P(M \cap A) + P(M \cap NA) = 0.21 + 0.12 = 0.33

La probabilidad de que sea de sabor a frutas es $P(F) = P(N) + P(L)$ :

P(F) = 0.40 + 0.27 = 0.67

Comparamos la probabilidad de ser de sabor a frutas con la probabilidad de ser de menta:

P(F) = 0.67

P(M) = 0.33

Dado que $0.67 > 0.33$ , es más probable que el caramelo sea de sabor a frutas que de menta.