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T3: Geometría
Vectores en el espacio
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
8
Examen

Considera los vectores u⃗=(2,1,0)\vec{u} = (2, 1, 0), v⃗=(1,0,−1)\vec{v} = (1, 0, -1) y w⃗=(a,b,1)\vec{w} = (a, b, 1).

a) Halla aa y bb sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w⃗\vec{w} es ortogonal a u⃗\vec{u}.b) Para a=1a = 1, calcula el valor o valores de bb para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.
Dependencia linealOrtogonalidadVolumen paralelepípedo
a) Halla aa y bb sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w⃗\vec{w} es ortogonal a u⃗\vec{u}.

Dado que el vector w⃗\vec{w} es ortogonal a u⃗\vec{u}, su producto escalar debe ser cero:

w⃗⋅u⃗=0\vec{w} \cdot \vec{u} = 0
(a,b,1)⋅(2,1,0)=0(a, b, 1) \cdot (2, 1, 0) = 0
2a+b+0=0  ⟹  2a+b=0(1)2a + b + 0 = 0 \implies 2a + b = 0 \quad (1)

Para que los tres vectores sean linealmente dependientes, el determinante de la matriz formada por sus componentes debe ser cero:

det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=∣21010−1ab1∣=0\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 0
2(0 \cdot 1 - (-1) \cdot b) - 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot a) + 0(1 \cdot b - 0 \cdot a) = 0
2b - (1 + a) = 0
2b−1−a=0  ⟹  −a+2b=1(2)2b - 1 - a = 0 \implies -a + 2b = 1 \quad (2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2):

{2a+b=0−a+2b=1\begin{cases} 2a + b = 0 \\ -a + 2b = 1 \end{cases}

De la ecuación (1), despejamos bb: b=−2ab = -2a. Sustituimos en la ecuación (2):

-a + 2(-2a) = 1
−a−4a=1-a - 4a = 1
−5a=1  ⟹  a=−15-5a = 1 \implies a = -\frac{1}{5}

Ahora, sustituimos el valor de aa en la expresión de bb:

b=−2(−15)=25b = -2 \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5}

Los valores son a=−15a = -\frac{1}{5} y b=25b = \frac{2}{5}.

b) Para a=1a = 1, calcula el valor o valores de bb para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.

Para a=1a = 1, el vector w⃗\vec{w} es (1,b,1)(1, b, 1). El volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores viene dado por el valor absoluto del producto mixto (determinante) de los tres vectores:

V=∣det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)∣V = |\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|

Calculamos el determinante con a=1a=1:

det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=∣21010−11b1∣\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & b & 1 \end{vmatrix}
= 2(0 \cdot 1 - (-1) \cdot b) - 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 0(1 \cdot b - 0 \cdot 1)
= 2(b) - 1(1 + 1) + 0
=2b−2= 2b - 2

Se nos pide que el volumen sea de 6 unidades cúbicas, por lo tanto:

∣2b−2∣=6|2b - 2| = 6

Esto nos lleva a dos posibles ecuaciones:Caso 1:

2b−2=62b - 2 = 6
2b=82b = 8
b=4b = 4

Caso 2:

2b−2=−62b - 2 = -6
2b=−42b = -4
b=−2b = -2

Los valores de bb para que el volumen del paralelepípedo sea de 6 unidades cúbicas son b=4b=4 y b=−2b=-2.