T3: Geometría · Posiciones relativas y distancias — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Posiciones relativas y distancias

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

EJERCICIO 7

Considera el plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases}$

a) Determina la ecuación del plano perpendicular a

\pi

que contiene a

r

.b) Calcula la distancia entre

r

\pi

PlanosRectasDistancia punto-plano

a) Determina la ecuación del plano perpendicular a

\pi

que contiene a

r

Primero, identificamos los elementos de la recta $r$ y el plano $\pi$ .Recta $r$ : $x = \lambda$ , $y = 1 - \lambda$ , $z = 0$ . Un punto en la recta $P_r$ (para $\lambda = 0$ ) es $P_r = (0, 1, 0)$ . El vector director de la recta es $\vec{v_r} = (1, -1, 0)$ . Plano $\pi$ : $x + y + z = 0$ . El vector normal del plano $\pi$ es $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$ .Sea $\pi'$ el plano que buscamos. Este plano debe cumplir dos condiciones:1. Contiene a la recta $r$ . Esto implica que el punto $P_r$ pertenece a $\pi'$ y el vector $\vec{v_r}$ es un vector director de $\pi'$ . 2. Es perpendicular al plano $\pi$ . Esto significa que el vector normal de $\pi'$ , $\vec{n_{\pi'}}$ , es perpendicular al vector normal de $\pi$ , $\vec{n_\pi}$ .Dado que $\pi'$ contiene a $r$ , su vector normal $\vec{n_{\pi'}}$ debe ser perpendicular a $\vec{v_r}$ . Además, como $\pi'$ es perpendicular a $\pi$ , $\vec{n_{\pi'}}$ debe ser perpendicular a $\vec{n_\pi}$ . Por lo tanto, $\vec{n_{\pi'}}$ puede obtenerse mediante el producto vectorial de $\vec{v_r}$ y $\vec{n_\pi}$ .

\vec{n_{\pi'}} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

\vec{n_{\pi'}} = ((-1)(1) - (0)(1))\vec{i} - ((1)(1) - (0)(1))\vec{j} + ((1)(1) - (-1)(1))\vec{k}

\vec{n_{\pi'}} = -1\vec{i} - 1\vec{j} + 2\vec{k} = (-1, -1, 2)

La ecuación general del plano $\pi'$ será de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$ , donde $(A, B, C)$ es el vector normal. Así, $\pi' \equiv -x - y + 2z + D = 0$ .Para encontrar $D$ , utilizamos el punto $P_r = (0, 1, 0)$ , que pertenece a $\pi'$ .

- (0) - (1) + 2(0) + D = 0

-1 + D = 0 \implies D = 1

La ecuación del plano $\pi'$ es:

\pi' \equiv -x - y + 2z + 1 = 0

Multiplicando por $-1$ para obtener una forma más común:

\pi' \equiv x + y - 2z - 1 = 0

b) Calcula la distancia entre

r

\pi

Primero, necesitamos determinar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ . Calculamos el producto escalar del vector director de la recta $\vec{v_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$ .

\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, -1, 0) \cdot (1, 1, 1) = (1)(1) + (-1)(1) + (0)(1) = 1 - 1 + 0 = 0

Dado que el producto escalar es $0$ , el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Esto implica que la recta es paralela al plano o está contenida en el plano.Para distinguir entre estas dos posibilidades, comprobamos si un punto de la recta pertenece al plano. Usamos el punto $P_r = (0, 1, 0)$ y lo sustituimos en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ .

0 + 1 + 0 = 1 \neq 0

Como el punto $P_r$ no satisface la ecuación del plano $\pi$ , la recta $r$ no está contenida en el plano. Por lo tanto, la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ .La distancia entre una recta y un plano paralelo es la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usamos el punto $P_r = (0, 1, 0)$ y el plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ . La fórmula de la distancia de un punto $(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es:

d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Para nuestro caso, $P_r = (0, 1, 0)$ y $\pi \equiv 1x + 1y + 1z + 0 = 0$ , entonces $A=1, B=1, C=1, D=0$ .

d(r, \pi) = \frac{|(1)(0) + (1)(1) + (1)(0) + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}

d(r, \pi) = \frac{|0 + 1 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}

d(r, \pi) = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Racionalizando el denominador:

d(r, \pi) = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ u.l.}