La función dada es $f(x) = ax^2 + bx + 3$. Para encontrar los valores de $a$ y $b$, utilizamos las dos condiciones proporcionadas:1. La gráfica de $f$ pasa por el punto $(2, 3)$. Esto significa que al sustituir $x=2$ en la función, el valor de $f(x)$ es $3$:

2. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(2, 3)$ es $m = -2$. Esto significa que la derivada de la función evaluada en $x=2$ es $-2$. Primero, calculamos la derivada $f'(x)$:

Ahora, igualamos $f'(2)$ a $-2$:

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la Ecuación 1 y la Ecuación 2:

De la Ecuación 1, despejamos $b$: $b = -2a$.Sustituimos esta expresión de $b$ en la Ecuación 2:

Ahora, sustituimos el valor de $a$ en la expresión de $b$:

Los valores son $a = -1$ y $b = 2$.

La función $g(x)$ es una parábola, ya que es una función cuadrática. Dado que el coeficiente de $x^2$ es negativo ($-1$), la parábola se abre hacia abajo.Para representarla, identificamos sus características principales:* Vértice: La coordenada $x$ del vértice se calcula como $x_v = -B/(2A)$, donde $A=-1$ y $B=6$.

La coordenada $y$ del vértice es $g(3)$:

El vértice es el punto $(3, 4)$.* Puntos de corte con el eje X (raíces): Se obtienen igualando $g(x) = 0$.

Factorizando la ecuación cuadrática:

Los puntos de corte con el eje X son $x = 1$ y $x = 5$, es decir, los puntos $(1, 0)$ y $(5, 0)$.* Punto de corte con el eje Y: Se obtiene haciendo $x = 0$.

El punto de corte con el eje Y es $(0, -5)$.Con estos puntos (vértice, cortes con los ejes), se puede dibujar la parábola que se abre hacia abajo, con su punto más alto en $(3, 4)$ y cruzando el eje X en $1$ y $5$.

El área solicitada está comprendida entre la gráfica de $g(x)$, el eje de abscisas ($y=0$) y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 4$.Observamos que en el intervalo $[1, 5]$, la función $g(x)$ es positiva (ya que la parábola se abre hacia abajo y sus raíces son $1$ y $5$). Como el intervalo de integración $[2, 4]$ está contenido en $[1, 5]$, la función $g(x)$ es positiva en todo el intervalo $[2, 4]$. Por lo tanto, el área se calcula directamente mediante la integral definida:

Calculamos la integral indefinida:

Ahora evaluamos la integral definida utilizando la Regla de Barrow:

Evaluamos en el límite superior ($x=4$):

Evaluamos en el límite inferior ($x=2$):

Restamos el valor en el límite inferior del valor en el límite superior:

El área comprendida es $\frac{22}{3}$ unidades cuadradas.