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T2: Interacción electromagnética
Fuerza magnética sobre cargas
Problema
2016 · Extraordinaria · Reserva
3A-a
Examen

Una partícula alfa, con una energía cinética de 2 MeV2 \text{ MeV}, se mueve en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 5 T5 \text{ T}, perpendicular a su velocidad.

a) Dibuje en un esquema los vectores velocidad de la partícula, campo magnético y fuerza magnética sobre dicha partícula y calcule el valor de la velocidad y de la fuerza magnética.

Datos: e=1,6⋅10−19 C;malfa=6,7⋅10−27 kge = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} ; m_{alfa} = 6,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Campo magnéticoFuerza de LorentzPartícula alfa
a) Diagrama de vectores y cálculo de velocidad y fuerza magnética

La partícula alfa tiene carga q=+2e=2×1,6×10−19=3,2×10−19q = +2e = 2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} = 3{,}2 \times 10^{-19} C (ya que contiene 2 protones). Se mueve con velocidad v⃗\vec{v} en un campo magnético B⃗\vec{B} perpendicular a ella, por lo que experimenta una fuerza de Lorentz F⃗=qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}.En el esquema siguiente se muestra un ejemplo típico: B⃗\vec{B} entrante en la página, v⃗\vec{v} hacia la derecha y F⃗\vec{F} hacia arriba (usando la regla de la mano derecha para carga positiva).

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+vF
Cálculo de la velocidad

Partimos de la energía cinética de la partícula alfa. Primero convertimos Ek=2E_k = 2 MeV a julios:

Ek=2 MeV=2×106×1,6×10−19 J=3,2×10−13 JE_k = 2 \text{ MeV} = 2 \times 10^6 \times 1{,}6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3{,}2 \times 10^{-13} \text{ J}

Usando la expresión de la energía cinética Ek=12mαv2E_k = \dfrac{1}{2}m_{\alpha}v^2, despejamos la velocidad:

v=2Ekmα=2×3,2×10−136,7×10−27v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{2 \times 3{,}2 \times 10^{-13}}{6{,}7 \times 10^{-27}}}
v=6,4×10−136,7×10−27=9,55×1013≈9,77×106 m/sv = \sqrt{\frac{6{,}4 \times 10^{-13}}{6{,}7 \times 10^{-27}}} = \sqrt{9{,}55 \times 10^{13}} \approx 9{,}77 \times 10^{6} \text{ m/s}
Cálculo de la fuerza magnética

Como v⃗⊥B⃗\vec{v} \perp \vec{B}, el módulo de la fuerza de Lorentz es:

F=qvBF = qvB

Sustituyendo los valores:

F=3,2×10−19×9,77×106×5F = 3{,}2 \times 10^{-19} \times 9{,}77 \times 10^{6} \times 5
F=3,2×10−19×4,885×107≈1,56×10−11 NF = 3{,}2 \times 10^{-19} \times 4{,}885 \times 10^{7} \approx 1{,}56 \times 10^{-11} \text{ N}

La fuerza magnética sobre la partícula alfa es perpendicular tanto a v⃗\vec{v} como a B⃗\vec{B}, con un valor de aproximadamente 1,56×10−111{,}56 \times 10^{-11} N. Esta fuerza actúa como fuerza centrípeta, haciendo que la partícula describa una trayectoria circular.