T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Se selecciona una muestra aleatoria de $300$ habitantes de una ciudad, a los que se les pregunta si creen que llevan una dieta saludable. De las personas encuestadas, $180$ han contestado afirmativamente, mientras que el resto ha respondido que no.

a) Calcule un intervalo de confianza al

95 \ \%

para la proporción de personas que creen seguir una dieta saludable.b) ¿Cuál sería el número de habitantes mínimo necesario en este estudio de opinión para que se reduzca a un tercio del error cometido en el intervalo

(0.54, 0.66)

con el mismo nivel de confianza?

Proporción muestralIntervalo de confianzaError de estimación

a) Calcule un intervalo de confianza al

95 \ \%

para la proporción de personas que creen seguir una dieta saludable.

Primero, identificamos los datos proporcionados:Tamaño de la muestra: $n = 300$ Número de personas que creen seguir una dieta saludable: $x = 180$ Nivel de confianza: $95 \ \% \implies 1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$ Calculamos la proporción muestral ( $\hat{p}$ ) y su complemento ( $1 - \hat{p}$ ):

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{180}{300} = 0.6

1 - \hat{p} = 1 - 0.6 = 0.4

Para un nivel de confianza del $95 \ \%$ , necesitamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ . Como $\alpha = 0.05$ , entonces $\alpha/2 = 0.025$ . Buscamos el valor de $Z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ . Este valor es:

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es:

IC = \left( \hat{p} - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

Calculamos el error máximo de la estimación (margen de error, $E$ ):

E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{300}}

E = 1.96 \sqrt{\frac{0.24}{300}} = 1.96 \sqrt{0.0008} \approx 1.96 \cdot 0.028284 \approx 0.0554

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (0.6 - 0.0554, 0.6 + 0.0554)

IC = (0.5446, 0.6554)

Redondeando a dos decimales, el intervalo de confianza al $95 \ \%$ es $(0.54, 0.66)$ .

b) ¿Cuál sería el número de habitantes mínimo necesario en este estudio de opinión para que se reduzca a un tercio del error cometido en el intervalo

(0.54, 0.66)

con el mismo nivel de confianza?

Primero, identificamos el error original del intervalo dado $(0.54, 0.66)$ :

E_{original} = \frac{0.66 - 0.54}{2} = \frac{0.12}{2} = 0.06

El nuevo error deseado ( $E_{nuevo}$ ) es un tercio del error original:

E_{nuevo} = \frac{E_{original}}{3} = \frac{0.06}{3} = 0.02

Mantenemos el mismo nivel de confianza del $95 \ \%$ , por lo que el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ sigue siendo $1.96$ . La proporción muestral que utilizaremos como estimación es la obtenida en el apartado a), $\hat{p} = 0.6$ .La fórmula para determinar el tamaño mínimo de la muestra ( $n$ ) para una proporción es:

n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E_{nuevo}^2}

Sustituimos los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.6 \cdot (1-0.6)}{(0.02)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.0004}

n = \frac{0.921984}{0.0004}

n = 2304.96

Dado que el número de habitantes debe ser un número entero y siempre se debe redondear al alza para asegurar el nivel de confianza y el error deseado, el número mínimo necesario es $2305$ .