T3: Vibraciones y ondas

Propagación de ondas

Teoría

2020 · Extraordinaria · Titular

3-a

a) Dos ondas armónicas se propagan por el mismo medio a igual velocidad, con la misma amplitud, la misma dirección de propagación y la frecuencia de la primera es el doble que la de la segunda. i) Compare la longitud de onda y el periodo de ambas ondas. ii) Escriba la ecuación de la segunda onda en función de las magnitudes de la primera.

Ondas armónicasLongitud de ondaPeriodo+1

a) i) Comparación de la longitud de onda y el periodo.

Las dos ondas se propagan por el mismo medio, lo que implica que tienen la misma velocidad de propagación $v$ . Se nos indica que la frecuencia de la primera onda ( $f_1$ ) es el doble que la de la segunda ( $f_2$ ), es decir:

f_1 = 2f_2

La relación entre la velocidad de propagación $v$ , la longitud de onda $\lambda$ y la frecuencia $f$ es $v = \lambda f$ .Dado que la velocidad $v$ es la misma para ambas ondas ( $v_1 = v_2 = v$ ):

\lambda_1 f_1 = \lambda_2 f_2

Sustituyendo $f_1 = 2f_2$ en la ecuación anterior:

\lambda_1 (2f_2) = \lambda_2 f_2 \implies 2\lambda_1 = \lambda_2

Por lo tanto, la longitud de onda de la segunda onda es el doble que la longitud de onda de la primera onda.El periodo $T$ de una onda está relacionado con su frecuencia $f$ mediante la expresión $T = 1/f$ .Para la primera onda, el periodo es $T_1 = 1/f_1$ . Para la segunda onda, el periodo es $T_2 = 1/f_2$ .Sustituyendo $f_1 = 2f_2$ en la expresión de $T_1$ :

T_1 = \frac{1}{2f_2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{f_2}\right) = \frac{1}{2} T_2

Por lo tanto, el periodo de la segunda onda es el doble que el periodo de la primera onda.

a) ii) Ecuación de la segunda onda en función de las magnitudes de la primera.

La ecuación general de una onda armónica se puede expresar como:

y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda ( $k = 2\pi / \lambda$ ), $\omega$ es la frecuencia angular ( $\omega = 2\pi f$ ), y $\phi_0$ es la fase inicial.De los datos del problema y de las conclusiones del apartado anterior, sabemos que:

A_2 = A_1 \quad \text{(misma amplitud)}

f_2 = \frac{f_1}{2}

\lambda_2 = 2\lambda_1

Ahora expresaremos el número de onda ( $k_2$ ) y la frecuencia angular ( $\omega_2$ ) de la segunda onda en función de las magnitudes de la primera:

k_2 = \frac{2\pi}{\lambda_2} = \frac{2\pi}{2\lambda_1} = \frac{1}{2} \left(\frac{2\pi}{\lambda_1}\right) = \frac{k_1}{2}

\omega_2 = 2\pi f_2 = 2\pi \left(\frac{f_1}{2}\right) = \frac{1}{2} (2\pi f_1) = \frac{\omega_1}{2}

Sustituyendo estas relaciones en la ecuación general de la onda para la segunda onda, obtenemos:

y_2(x,t) = A_1 \sin\left(\frac{k_1}{2} x - \frac{\omega_1}{2} t + \phi_0\right)

Donde $A_1$ , $k_1$ y $\omega_1$ son la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular de la primera onda, respectivamente, y $\phi_0$ es la fase inicial, que no ha sido especificada ni relacionada entre ambas ondas.