T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2020

Radiactividad

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

8-b

b) Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva que contiene

6 \cdot 10^{21}

átomos de un isótopo de Co, cuyo periodo de semidesintegración es de

77,27

días. Calcule: i) La constante de desintegración radiactiva del isótopo de Co. ii) La actividad inicial de la muestra. iii) El número de átomos que se han desintegrado al cabo de

180

días.

Constante radiactivaActividadPeriodo de semidesintegración

b) i) La constante de desintegración radiactiva del isótopo de Co.

La relación entre el periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) y la constante de desintegración ( $\lambda$ ) viene dada por la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Despejamos $\lambda$ y sustituimos el valor de $T_{1/2}$ . Es importante expresar el periodo en segundos para obtener $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ .

T_{1/2} = 77,27 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 6.673.728 \text{ s}

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{6.673.728 \text{ s}} = 1,038 \cdot 10^{-7} \text{ s}^{-1}

b) ii) La actividad inicial de la muestra.

La actividad inicial ( $A_0$ ) se calcula como el producto de la constante de desintegración ( $\lambda$ ) y el número inicial de átomos ( $N_0$ ):

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo los valores conocidos:

A_0 = (1,038 \cdot 10^{-7} \text{ s}^{-1}) \cdot (6 \cdot 10^{21} \text{ átomos}) = 6,228 \cdot 10^{14} \text{ Bq}

b) iii) El número de átomos que se han desintegrado al cabo de

180

días.

Primero, calculamos el número de átomos que quedan sin desintegrar ( $N(t)$ ) al cabo de $180$ días usando la ley de desintegración radiactiva. Es necesario expresar el tiempo $t$ en segundos.

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

t = 180 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 15.552.000 \text{ s}

N(180 \text{ días}) = (6 \cdot 10^{21} \text{ átomos}) \cdot e^{-(1,038 \cdot 10^{-7} \text{ s}^{-1}) \cdot (15.552.000 \text{ s})}

N(180 \text{ días}) = (6 \cdot 10^{21}) \cdot e^{-1,6143} = (6 \cdot 10^{21}) \cdot 0,1991 = 1,1946 \cdot 10^{21} \text{ átomos}

El número de átomos que se han desintegrado ( $N_{desintegrados}$ ) es la diferencia entre el número inicial de átomos y el número de átomos restantes:

N_{desintegrados} = N_0 - N(t)

N_{desintegrados} = (6 \cdot 10^{21}) - (1,1946 \cdot 10^{21}) = 4,8054 \cdot 10^{21} \text{ átomos}