T4: Funciones · Continuidad — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Continuidad

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

Sea la función continua $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(e^x + x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4x^2 + a & \text{si } 0 \le x < 1 \\ b + \operatorname{sen}(\pi x) & \text{si } 1 \le x \end{cases}

( $\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Determina $a$ y $b$ .

ContinuidadFunciones definidas a trozosLímites

Para que la función $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ , debe ser continua en los puntos donde cambia su definición, es decir, en $x=0$ y en $x=1$ .

Continuidad en $x=0$

Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$ , se debe cumplir que $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ .

1. Valor de la función en

x=0

f(0) = 4(0)^2 + a = a

2. Límite por la izquierda en

x=0

Calculamos el límite de $f(x)$ cuando $x \to 0^-$ :

\lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(e^x + x^3)}{x}

Al sustituir $x=0$ , obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ (ya que $\ln(e^0 + 0^3) = \ln(1) = 0$ ). Aplicamos la Regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(e^x + x^3))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{e^x + 3x^2}{e^x + x^3}}{1} = \frac{e^0 + 3(0)^2}{e^0 + (0)^3} = \frac{1+0}{1+0} = 1

3. Límite por la derecha en

x=0

\lim_{x \to 0^+} (4x^2 + a) = 4(0)^2 + a = a

Para la continuidad en $x=0$ , igualamos los valores:

a = 1

Continuidad en $x=1$

Para que $f(x)$ sea continua en $x=1$ , se debe cumplir que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ .

1. Valor de la función en

x=1

f(1) = b + \operatorname{sen}(\pi \cdot 1) = b + \operatorname{sen}(\pi) = b + 0 = b

2. Límite por la izquierda en

x=1

\lim_{x \to 1^-} (4x^2 + a)

Sustituyendo el valor de $a=1$ encontrado anteriormente:

\lim_{x \to 1^-} (4x^2 + 1) = 4(1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5

3. Límite por la derecha en

x=1

\lim_{x \to 1^+} (b + \operatorname{sen}(\pi x)) = b + \operatorname{sen}(\pi \cdot 1) = b + \operatorname{sen}(\pi) = b + 0 = b

Para la continuidad en $x=1$ , igualamos los valores:

b = 5

Conclusión

Los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función sea continua son:

a = 1

b = 5