T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

B2-a

a) Dos partículas cargadas son lanzadas con la misma velocidad en una dirección perpendicular a un campo magnético uniforme. i) Deduzca razonadamente la expresión del radio de la trayectoria. ii) Sabiendo que la masa de la primera es diez veces mayor y su carga es el doble que la de la segunda, calcule la razón entre las frecuencias de sus movimientos.

fuerza de Lorentzradio de trayectoriafrecuencia ciclotrónica

a) i) Dededucción razonada de la expresión del radio de la trayectoria.

Cuando una partícula cargada de carga $q$ y masa $m$ se mueve con una velocidad $\vec{v}$ en una dirección perpendicular a un campo magnético uniforme $\vec{B}$ , experimenta una fuerza magnética, conocida como fuerza de Lorentz, dada por la expresión:

\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})

Dado que la velocidad es perpendicular al campo magnético ( $\theta = 90^\circ$ ), la magnitud de esta fuerza es:

F = qvB \sin(90^\circ) = qvB

Esta fuerza de Lorentz es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula, lo que significa que no realiza trabajo y, por lo tanto, no cambia la magnitud de la velocidad, solo su dirección. Esta fuerza actúa como la fuerza centrípeta necesaria para que la partícula describa una trayectoria circular. La fuerza centrípeta viene dada por:

F_c = \frac{mv^2}{r}

Igualando la fuerza magnética a la fuerza centrípeta, obtenemos:

qvB = \frac{mv^2}{r}

Despejando el radio $r$ de la trayectoria, se tiene:

r = \frac{mv^2}{qvB}

Simplificando la expresión, el radio de la trayectoria circular es:

r = \frac{mv}{qB}

a) ii) Cálculo de la razón entre las frecuencias de sus movimientos.

La frecuencia de un movimiento circular uniforme $f$ está relacionada con la velocidad $v$ y el radio $r$ mediante la expresión:

f = \frac{v}{2\pi r}

Sustituyendo la expresión del radio $r = \frac{mv}{qB}$ en la fórmula de la frecuencia, obtenemos la frecuencia ciclotrónica:

f = \frac{v}{2\pi \left(\frac{mv}{qB}\right)} = \frac{qB}{2\pi m}

Para las dos partículas, sabiendo que se lanzan en el mismo campo magnético $B$ y con la misma velocidad $v$ (aunque la velocidad no afecta a la frecuencia ciclotrónica), pero con diferentes masas y cargas:

f_1 = \frac{q_1 B}{2\pi m_1}

f_2 = \frac{q_2 B}{2\pi m_2}

La razón entre sus frecuencias es:

\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{q_1 B}{2\pi m_1}}{\frac{q_2 B}{2\pi m_2}} = \frac{q_1}{m_1} \cdot \frac{m_2}{q_2}

Se nos dan las siguientes relaciones:

m_1 = 10 m_2 \implies \frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{10}

q_1 = 2 q_2 \implies \frac{q_1}{q_2} = 2

Sustituyendo estas relaciones en la expresión de la razón de frecuencias:

\frac{f_1}{f_2} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{m_2}{m_1} = (2) \cdot \left(\frac{1}{10}\right) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

Por lo tanto, la razón entre las frecuencias de sus movimientos es $1/5$ .