T1: Interacción gravitatoria

Energía

Problema

2018 · Extraordinaria · Suplente

1A-b

Un objeto de $2 \text{ kg}$ con una velocidad inicial de $5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ se desplaza $20 \text{ cm}$ por una superficie horizontal para, a continuación, comenzar a ascender por un plano inclinado $30^{\circ}$ . El coeficiente de rozamiento entre el objeto y ambas superficies es $0,1$ .

1. b) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el objeto en ambas superficies y calcule la altura máxima que alcanza el objeto mediante consideraciones energéticas.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Energía mecánicaTrabajoPlano inclinado+1

Diagramas de fuerzas

Fuerzas sobre el objeto en la superficie horizontal:

Fuerzas sobre el objeto en el plano inclinado 30°:

Cálculo de la altura máxima mediante energía

Aplicamos el Teorema Trabajo-Energía (o conservación de la energía con pérdidas por rozamiento). El objeto parte con energía cinética inicial $E_{k0}$ y debe superar el trabajo de las fuerzas de rozamiento en ambas superficies, convirtiendo el resto en energía potencial gravitatoria.Datos del problema:

Masa:

m = 2 \ \text{kg}

Velocidad inicial:

v_0 = 5 \ \text{m·s}^{-1}

Distancia horizontal:

d_1 = 0{,}20 \ \text{m}

Ángulo del plano:

\alpha = 30^\circ

Coeficiente de rozamiento:

\mu = 0{,}1

Paso 1: Energía cinética inicial

E_{k0} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 25 \ \text{J}

Paso 2: Trabajo del rozamiento en la superficie horizontal

En la superficie horizontal, la normal es $N_1 = mg$ , por lo que la fuerza de rozamiento es:

f_{r1} = \mu \cdot N_1 = \mu \cdot m \cdot g = 0{,}1 \cdot 2 \cdot 9{,}8 = 1{,}96 \ \text{N}

El trabajo realizado por el rozamiento en la zona horizontal (se opone al movimiento, signo negativo):

W_{r1} = -f_{r1} \cdot d_1 = -1{,}96 \cdot 0{,}20 = -0{,}392 \ \text{J}

Paso 3: Trabajo del rozamiento en el plano inclinado

En el plano inclinado, la normal es $N_2 = mg\cos\alpha$ , por lo que la fuerza de rozamiento es:

f_{r2} = \mu \cdot N_2 = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\alpha = 0{,}1 \cdot 2 \cdot 9{,}8 \cdot \cos 30^\circ = 1{,}96 \cdot 0{,}866 = 1{,}697 \ \text{N}

Si el objeto recorre una distancia $d_2$ a lo largo del plano hasta detenerse, la altura alcanzada es $h = d_2 \cdot \sin\alpha$ , luego $d_2 = h / \sin\alpha$ . El trabajo del rozamiento en el plano es:

W_{r2} = -f_{r2} \cdot d_2 = -\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\alpha \cdot \frac{h}{\sin\alpha} = -\mu \cdot m \cdot g \cdot h \cdot \cot\alpha

Paso 4: Aplicación del teorema energético

En la altura máxima el objeto está en reposo ( $E_k = 0$ ). Tomando como referencia el nivel horizontal inicial, la energía potencial final es $E_p = mgh$ . Aplicamos conservación de energía con pérdidas:

E_{k0} + W_{r1} + W_{r2} = mgh

25 - 0{,}392 - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cot\alpha \cdot h = mgh

Sustituyendo valores numéricos: $\cot 30^\circ = \cos 30^\circ / \sin 30^\circ = 0{,}866/0{,}5 = 1{,}732$

24{,}608 - 0{,}1 \cdot 2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}732 \cdot h = 2 \cdot 9{,}8 \cdot h

24{,}608 - 3{,}395 \cdot h = 19{,}6 \cdot h

24{,}608 = (19{,}6 + 3{,}395) \cdot h = 22{,}995 \cdot h

h = \frac{24{,}608}{22{,}995} \approx 1{,}07 \ \text{m}

La altura máxima que alcanza el objeto es aproximadamente $h \approx 1{,}07 \ \text{m}$ .