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T4: Funciones
Cálculo de parámetros, extremos y áreas
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
3
Examen
EJERCICIO 3
a) Se considera la función f(x)=x3+bx2+cx−1f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1 donde bb y cc son números reales. Determine el valor de bb y cc para que la función ff presente un extremo en el punto de abscisa x=13x = \frac{1}{3} y además la gráfica de la función ff pase por el punto (−2,−3)(-2, -3).b) Dada la función g(x)=−x3−x2+x+1g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función gg y el eje de abscisas.
Funciones polinómicasExtremos relativosCálculo integral+1
a) Se considera la función f(x)=x3+bx2+cx−1f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1 donde bb y cc son números reales. Determine el valor de bb y cc para que la función ff presente un extremo en el punto de abscisa x=13x = \frac{1}{3} y además la gráfica de la función ff pase por el punto (−2,−3)(-2, -3).

La función dada es f(x)=x3+bx2+cx−1f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1. Para que la función presente un extremo en x=13x = \frac{1}{3}, la primera derivada debe ser cero en ese punto. Primero, calculamos la primera derivada de f(x)f(x):

f′(x)=3x2+2bx+cf'(x) = 3x^2 + 2bx + c

Aplicamos la condición de extremo en x=13x = \frac{1}{3}:

f′(13)=3(13)2+2b(13)+c=0f'\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2b\left(\frac{1}{3}\right) + c = 0
3(19)+2b3+c=03\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{2b}{3} + c = 0
13+2b3+c=0\frac{1}{3} + \frac{2b}{3} + c = 0

Multiplicamos por 3 para eliminar denominadores:

1+2b+3c=0(1)1 + 2b + 3c = 0 \quad (1)

Ahora, aplicamos la condición de que la gráfica de la función ff pase por el punto (−2,−3)(-2, -3), lo que significa que f(−2)=−3f(-2) = -3:

f(−2)=(−2)3+b(−2)2+c(−2)−1=−3f(-2) = (-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) - 1 = -3
−8+4b−2c−1=−3-8 + 4b - 2c - 1 = -3
4b−2c−9=−34b - 2c - 9 = -3
4b−2c=64b - 2c = 6

Dividimos por 2 para simplificar:

2b−c=3(2)2b - c = 3 \quad (2)

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2):

{2b+3c=−1(1)2b−c=3(2)\begin{cases} 2b + 3c = -1 \quad (1) \\2b - c = 3 \quad (2) \end{cases}

Restamos la ecuación (2) de la ecuación (1):

(2b + 3c) - (2b - c) = -1 - 3
4c=−44c = -4
c=−1c = -1

Sustituimos el valor de cc en la ecuación (2):

2b−(−1)=32b - (-1) = 3
2b+1=32b + 1 = 3
2b=22b = 2
b=1b = 1

Por lo tanto, los valores de bb y cc son b=1b = 1 y c=−1c = -1.

b) Dada la función g(x)=−x3−x2+x+1g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función gg y el eje de abscisas.
Puntos de corte con los ejes coordenados:

Corte con el eje Y (haciendo x=0x = 0):

g(0)=−(0)3−(0)2+(0)+1=1g(0) = -(0)^3 - (0)^2 + (0) + 1 = 1

El punto de corte con el eje Y es (0,1)(0, 1).Corte con el eje X (haciendo g(x)=0g(x) = 0):

−x3−x2+x+1=0-x^3 - x^2 + x + 1 = 0

Podemos factorizar por grupos o probar raíces enteras (±1\pm 1). Si x=1x = 1: g(1)=−(1)3−(1)2+(1)+1=−1−1+1+1=0g(1) = -(1)^3 - (1)^2 + (1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0. Entonces x=1x = 1 es una raíz. Si x=−1x = -1: g(−1)=−(−1)3−(−1)2+(−1)+1=−(−1)−1−1+1=1−1−1+1=0g(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -(-1) - 1 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0. Entonces x=−1x = -1 es una raíz.Podemos factorizar la expresión: g(x)=−x2(x+1)+(x+1)=(x+1)(−x2+1)=(x+1)(1−x2)=(x+1)(1−x)(1+x)=(x+1)2(1−x)g(x) = -x^2(x+1) + (x+1) = (x+1)(-x^2+1) = (x+1)(1-x^2) = (x+1)(1-x)(1+x) = (x+1)^2(1-x). Las raíces son x=−1x = -1 (raíz doble) y x=1x = 1 (raíz simple).Los puntos de corte con el eje X son (−1,0)(-1, 0) y (1,0)(1, 0).

Monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento):

Calculamos la primera derivada g′(x)g'(x):

g′(x)=−3x2−2x+1g'(x) = -3x^2 - 2x + 1

Para encontrar los puntos críticos, igualamos g′(x)g'(x) a cero:

−3x2−2x+1=0-3x^2 - 2x + 1 = 0
3x2+2x−1=03x^2 + 2x - 1 = 0

Usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de g′(x)g'(x):

x=−2±22−4(3)(−1)2(3)=−2±4+126=−2±166=−2±46x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}
x1=−2+46=26=13x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
x2=−2−46=−66=−1x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1

Los puntos críticos son x=−1x = -1 y x=13x = \frac{1}{3}. Dividimos la recta real en intervalos y analizamos el signo de g′(x)g'(x):* Para x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1), tomamos un punto de prueba, por ejemplo x=−2x = -2:

g′(−2)=−3(−2)2−2(−2)+1=−12+4+1=−7<0g'(-2) = -3(-2)^2 - 2(-2) + 1 = -12 + 4 + 1 = -7 < 0

La función g(x)g(x) es decreciente en (−∞,−1)(-\infty, -1).* Para x∈(−1,13)x \in (-1, \frac{1}{3}), tomamos un punto de prueba, por ejemplo x=0x = 0:

g′(0)=−3(0)2−2(0)+1=1>0g'(0) = -3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1 > 0

La función g(x)g(x) es creciente en (−1,13)(-1, \frac{1}{3}).* Para x∈(13,∞)x \in (\frac{1}{3}, \infty), tomamos un punto de prueba, por ejemplo x=1x = 1:

g′(1)=−3(1)2−2(1)+1=−3−2+1=−4<0g'(1) = -3(1)^2 - 2(1) + 1 = -3 - 2 + 1 = -4 < 0

La función g(x)g(x) es decreciente en (13,∞)(\frac{1}{3}, \infty).Resumen de monotonía: Decrece en (−∞,−1)∪(13,∞)(-\infty, -1) \cup (\frac{1}{3}, \infty). Crece en (−1,13)(-1, \frac{1}{3}).Extremos relativos: En x=−1x = -1, la función pasa de decreciente a creciente, por lo que hay un mínimo local. g(−1)=0g(-1) = 0. Mínimo local en (−1,0)(-1, 0). En x=13x = \frac{1}{3}, la función pasa de creciente a decreciente, por lo que hay un máximo local. g(13)=−(13)3−(13)2+(13)+1=−127−19+13+1=−1−3+9+2727=3227g(\frac{1}{3}) = -(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{-1 - 3 + 9 + 27}{27} = \frac{32}{27}. Máximo local en (13,3227)(\frac{1}{3}, \frac{32}{27}).

Esbozo de la gráfica:

La gráfica de g(x)g(x) es una cúbica con coeficiente principal negativo, por lo que comienza en +∞+\infty para x→−∞x \to -\infty y termina en −∞-\infty para x→∞x \to \infty. Pasa por el eje Y en (0,1)(0, 1). Corta el eje X en (−1,0)(-1, 0) (donde tiene un mínimo local y la gráfica "rebota") y en (1,0)(1, 0). * Tiene un máximo local en (13,3227)≈(0.33,1.19)(\frac{1}{3}, \frac{32}{27}) \approx (0.33, 1.19).La gráfica desciende hasta el mínimo local en (−1,0)(-1, 0), asciende pasando por (0,1)(0,1) hasta el máximo local en (13,3227)(\frac{1}{3}, \frac{32}{27}), y luego desciende indefinidamente pasando por (1,0)(1,0).

Área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g$ y el eje de abscisas:

Los puntos de corte con el eje de abscisas son x=−1x = -1 y x=1x = 1. La función g(x)=(x+1)2(1−x)g(x) = (x+1)^2(1-x). En el intervalo [−1,1][-1, 1], tanto (x+1)2(x+1)^2 como (1−x)(1-x) son mayores o iguales que cero, por lo tanto g(x)≥0g(x) \ge 0 en este intervalo. El área se calcula como la integral definida de g(x)g(x) entre −1-1 y 11.

A=∫−11(−x3−x2+x+1)dxA = \int_{-1}^{1} (-x^3 - x^2 + x + 1) dx

Calculamos la integral indefinida:

∫(−x3−x2+x+1)dx=−x44−x33+x22+x+C\int (-x^3 - x^2 + x + 1) dx = -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

Ahora evaluamos la integral definida:

A=[−x44−x33+x22+x]−11A = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1}
A=(−(1)44−(1)33+(1)22+1)−(−(−1)44−(−1)33+(−1)22+(−1))A = \left( -\frac{(1)^4}{4} - \frac{(1)^3}{3} + \frac{(1)^2}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right)
A=(−14−13+12+1)−(−14+13+12−1)A = \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 \right)
A=(−3−4+6+1212)−(−3+4+6−1212)A = \left( \frac{-3 - 4 + 6 + 12}{12} \right) - \left( \frac{-3 + 4 + 6 - 12}{12} \right)
A=(1112)−(−512)A = \left( \frac{11}{12} \right) - \left( \frac{-5}{12} \right)
A=1112+512=1612A = \frac{11}{12} + \frac{5}{12} = \frac{16}{12}
A=43A = \frac{4}{3}

El área del recinto acotado es 43\frac{4}{3} unidades cuadradas.