T4: Funciones · Optimización y recta tangente — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Optimización y recta tangente

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (5 - x)e^{x-4}$ . Determina los puntos de la gráfica de $f$ cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

DerivadasRecta tangenteOptimización

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en un punto viene dada por la primera derivada de la función, $f'(x)$ . Para determinar los puntos de la gráfica donde la pendiente es máxima, necesitamos encontrar los máximos de $f'(x)$ . Para ello, calcularemos la segunda derivada $f''(x)$ , la igualaremos a cero y analizaremos el signo de la tercera derivada $f'''(x)$ o el cambio de signo de $f''(x)$ .

1. Cálculo de la primera derivada

f'(x)

f(x) = (5 - x)e^{x-4}

f'(x) = \frac{d}{dx}((5 - x)e^{x-4})

f'(x) = (-1)e^{x-4} + (5 - x)e^{x-4}

f'(x) = e^{x-4}(-1 + 5 - x)

f'(x) = (4 - x)e^{x-4}

2. Cálculo de la segunda derivada

f''(x)

f''(x) = \frac{d}{dx}((4 - x)e^{x-4})

f''(x) = (-1)e^{x-4} + (4 - x)e^{x-4}

f''(x) = e^{x-4}(-1 + 4 - x)

f''(x) = (3 - x)e^{x-4}

3. Igualar

f''(x)

a cero para encontrar los posibles extremos de la pendiente:

(3 - x)e^{x-4} = 0

Dado que $e^{x-4}$ es siempre positivo, debemos tener:

3 - x = 0 \implies x = 3

4. Determinar si

x=3

corresponde a un máximo de

f'(x)

Podemos usar el criterio de la segunda derivada para $f'(x)$ , lo que implica calcular $f'''(x)$ .

f'''(x) = \frac{d}{dx}((3 - x)e^{x-4})

f'''(x) = (-1)e^{x-4} + (3 - x)e^{x-4}

f'''(x) = e^{x-4}(-1 + 3 - x)

f'''(x) = (2 - x)e^{x-4}

Evaluamos $f'''(x)$ en $x=3$ :

f'''(3) = (2 - 3)e^{3-4} = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e}

Dado que $f'''(3) < 0$ , $f'(x)$ tiene un máximo local en $x=3$ . Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es máxima en $x=3$ .

5. Encontrar el punto de la gráfica de

f(x)

para

x=3

f(3) = (5 - 3)e^{3-4} = (2)e^{-1} = \frac{2}{e}

El punto de la gráfica de $f$ donde la recta tangente tiene pendiente máxima es $\left(3, \frac{2}{e}\right)$ .La pendiente máxima en este punto es $f'(3)$ :

f'(3) = (4 - 3)e^{3-4} = (1)e^{-1} = \frac{1}{e}