T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística para proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Inferencia estadística para proporciones

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 7

Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de $1500$ tornillos, resultando que $1425$ cumplen las especificaciones del fabricante.

a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del

97\%

.b) Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al

1\%

Intervalo de confianzaTamaño muestralProporción

a) Para determinar un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del

97\%

, primero identificamos los datos:

Tamaño de la muestra ( $n$ ): $1500$ Número de tornillos que cumplen las especificaciones ( $x$ ): $1425$ La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) se calcula como:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{1425}{1500} = 0.95

La proporción complementaria ( $\hat{q}$ ) es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.95 = 0.05

Para un nivel de confianza del $97\%$ , el valor de $\alpha$ es $1 - 0.97 = 0.03$ , por lo que $\alpha/2 = 0.015$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$ . Utilizando una tabla de la distribución normal estándar o una calculadora, encontramos que:

z_{0.015} \approx 2.17

El margen de error ( $E$ ) se calcula con la fórmula:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

Sustituyendo los valores:

E = 2.17 \sqrt{\frac{0.95 \cdot 0.05}{1500}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.0475}{1500}} = 2.17 \sqrt{0.000031666...} \approx 2.17 \cdot 0.005627 \approx 0.012211

El intervalo de confianza es $\hat{p} \pm E$ :

IC = (0.95 - 0.012211, 0.95 + 0.012211)

IC = (0.937789, 0.962211)

b) Para determinar el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al

1\%

(es decir,

E < 0.01

), manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, usamos la fórmula del margen de error y despejamos

n

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

Elevamos al cuadrado ambos lados:

E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{\hat{p}\hat{q}}{n}

Y despejamos $n$ :

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

Con los valores:

z_{\alpha/2} = 2.17

\hat{p} = 0.95

\hat{q} = 0.05

E = 0.01

Sustituyendo en la fórmula:

n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.95 \cdot 0.05}{(0.01)^2}

n = \frac{4.7089 \cdot 0.0475}{0.0001}

n = \frac{0.22367275}{0.0001}

n = 2236.7275

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser inferior al $1\%$ , debemos redondear al siguiente número entero superior.Por lo tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser $2237$ tornillos.