T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

2-b

2. b) Una espira circular de {{radio}} de radio, dentro de un campo magnético constante y uniforme de {{campo}} T, gira con una velocidad angular de {{omega}} respecto a un eje que pasa por uno de sus diámetros. Inicialmente el campo magnético es perpendicular al plano de la espira. Calcule razonadamente: i) La fuerza electromotriz inducida para t = {{tiempo}} s. ii) La resistencia eléctrica de la espira, sabiendo que por ella circula, para t = {{tiempo}} s, una intensidad de corriente de {{intensidad}}.

Fuerza electromotriz inducidaLey de Ohm

b) i) La fuerza electromotriz inducida para

t = 0.1 \text{ s}

El flujo magnético que atraviesa la espira viene dado por la expresión:

\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos\theta

Donde $B$ es la magnitud del campo magnético, $A$ es el área de la espira y $\theta$ es el ángulo entre el vector campo magnético y el vector normal a la superficie de la espira. Al girar la espira con velocidad angular $\omega$ , el ángulo varía con el tiempo como $\theta(t) = \omega t$ , ya que inicialmente el campo magnético es perpendicular al plano de la espira (lo que implica que el vector normal a la espira es paralelo al campo magnético, $\theta=0$ en $t=0$ ).El área de la espira es $A = \pi R^2$ . Sustituyendo los datos:

A = \pi (0.1 \text{ m})^2 = 0.01\pi \text{ m}^2

Por lo tanto, el flujo magnético en función del tiempo es:

\begin{gathered} \Phi_B(t) = B A \cos(\omega t) \\ = (0.5 \text{ T}) (0.01\pi \text{ m}^2) \cos((10 \text{ rad/s})t) \\ = 0.005\pi \cos(10t) \text{ Wb} \end{gathered}

Según la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (FEM) es la derivada temporal negativa del flujo magnético:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

Calculamos la derivada:

\mathcal{E} = -\frac{d}{dt}(B A \cos(\omega t)) = -B A (-\omega \sin(\omega t)) = B A \omega \sin(\omega t)

Ahora, sustituimos los valores para $t = 0.1 \text{ s}$ :

\begin{gathered} \mathcal{E} = (0.5 \text{ T}) (0.01\pi \text{ m}^2) (10 \text{ rad/s}) \sin((10 \text{ rad/s})(0.1 \text{ s})) \\ \mathcal{E} = 0.05\pi \sin(1 \text{ rad}) \end{gathered}

Convertimos 1 radián a grados para referencia, o calculamos $\sin(1)$ directamente en radianes. $\sin(1 \text{ rad}) \approx 0.8415$ .

\mathcal{E} = 0.05 \times \pi \times 0.8415 \approx 0.1321 \text{ V}

ii) La resistencia eléctrica de la espira, sabiendo que por ella circula, para

t = 0.1 \text{ s}

, una intensidad de corriente de

0.08 \text{ A}

Aplicamos la Ley de Ohm, que relaciona la fuerza electromotriz inducida ( $\mathcal{E}$ ), la intensidad de corriente ( $I$ ) y la resistencia eléctrica ( $R$ ):

\mathcal{E} = I R

Despejamos la resistencia $R$ y sustituimos los valores conocidos:

\begin{gathered} R = \frac{\mathcal{E}}{I} \\ R = \frac{0.1321 \text{ V}}{0.08 \text{ A}} \\ R \approx 1.65 \text{ }\Omega \end{gathered}