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T3: Programación lineal
Optimización
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
1
Examen
BLOQUE A

Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo.

Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán.
Programación linealOptimización
Resolución del problema de programación lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

xx: número de cajas del tipo 1.yy: número de cajas del tipo 2.

A continuación, establecemos la función objetivo, que consiste en maximizar el número total de regalos (cajas):

f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y

Las restricciones del problema vienen dadas por la disponibilidad de ingredientes y las condiciones impuestas:

Piononos: 3x+4y≤1203x + 4y \leq 120Pestiños: 2x+6y≤1502x + 6y \leq 150Mínimo de cajas tipo 2: y≥9y \geq 9No negatividad: x≥0,y≥0x \geq 0, y \geq 0

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del recinto resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes a las rectas de restricción:

Vértice A: Intersección de y=9y = 9 con x=0x = 0. Obtenemos A(0,9)A(0, 9).Vértice B: Intersección de x+3y=75x + 3y = 75 (simplificación de 2x+6y=1502x+6y=150) con x=0x = 0. Obtenemos B(0,25)B(0, 25).Vértice C: Intersección de 3x+4y=1203x + 4y = 120 y x+3y=75x + 3y = 75. Multiplicando la segunda por −3-3 y sumando: 3x+4y−3x−9y=120−225⇒−5y=−105⇒y=213x + 4y - 3x - 9y = 120 - 225 \Rightarrow -5y = -105 \Rightarrow y = 21. Sustituyendo, x=75−3(21)=12x = 75 - 3(21) = 12. Obtenemos C(12,21)C(12, 21).Vértice D: Intersección de 3x+4y=1203x + 4y = 120 y y=9y = 9. Sustituyendo, 3x+4(9)=120⇒3x=84⇒x=283x + 4(9) = 120 \Rightarrow 3x = 84 \Rightarrow x = 28. Obtenemos D(28,9)D(28, 9).

Evaluamos la función objetivo f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y en cada uno de los vértices hallados para encontrar el máximo:

f(0,9)=0+9=9f(0, 9) = 0 + 9 = 9f(0,25)=0+25=25f(0, 25) = 0 + 25 = 25f(12,21)=12+21=33f(12, 21) = 12 + 21 = 33f(28,9)=28+9=37f(28, 9) = 28 + 9 = 37
3x+4y≤1202x+6y≤150y≥9(0, 9)(0, 25)(12, 21)(28, 9)Máx: z = 370102030102030xyz = x + y

El máximo número de regalos se alcanza preparando 28 cajas del tipo 1 y 9 cajas del tipo 2, con un total de 37 regalos.Calculamos la cantidad de ingredientes utilizados en este caso óptimo:

Piononos: 3(28)+4(9)=84+36=1203(28) + 4(9) = 84 + 36 = 120 piononos utilizados.Pestiños: 2(28)+6(9)=56+54=1102(28) + 6(9) = 56 + 54 = 110 pestiños utilizados.