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T1: Matrices y determinantes
Inversa de una matriz y ecuaciones matriciales
Problema
2021 · Extraordinaria · Titular
1
Examen

Se considera la matriz

A=(21010202a)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix}
a) Determine para qué valores del parámetro aa, la matriz AA tiene inversa.b) Para a=1a = 1, calcule la inversa de AA.c) Para a=1a = 1, resuelva la ecuación matricial A⋅X=BtA \cdot X = B^t, siendo B=(01−1)B = ( 0 \quad 1 \quad -1 ).
Matriz inversaDeterminanteEcuación matricial
a) Para que la matriz AA tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de AA:
det⁡(A)=∣21010202a∣=2⋅(0⋅a−2⋅2)−1⋅(1⋅a−0⋅2)+0⋅(1⋅2−0⋅0)\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{vmatrix} = 2 \cdot (0 \cdot a - 2 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot a - 0 \cdot 2) + 0 \cdot (1 \cdot 2 - 0 \cdot 0)
= 2 \\cdot (-4) - 1 \\cdot (a) + 0 = -8 - a

Para que AA tenga inversa, se debe cumplir que det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

−8−a≠0⇒a≠−8-8 - a \neq 0 \Rightarrow a \neq -8

La matriz AA tiene inversa para todos los valores de a≠−8a \neq -8.

b) Para a=1a=1, la matriz es:
A=(210102021)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

El determinante para a=1a=1 es:

det⁡(A)=−8−1=−9\det(A) = -8 - 1 = -9

Calculamos la matriz de cofactores CijC_{ij}:

C11=+∣0221∣=−4C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -4
C12=−∣1201∣=−1C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1
C13=+∣1002∣=2C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2
C21=−∣1021∣=−1C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1
C22=+∣2001∣=2C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2
C23=−∣2102∣=−4C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4
C31=+∣1002∣=2C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2
C32=−∣2012∣=−4C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4
C33=+∣2110∣=−1C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1

La matriz de cofactores es:

C=(−4−12−12−42−4−1)C = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & -1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A)=Ct=(−4−12−12−42−4−1)\text{Adj}(A) = C^t = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de AA es A−1=1det⁡(A)⋅Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A):

A−1=1−9(−4−12−12−42−4−1)=(4/91/9−2/91/9−2/94/9−2/94/91/9)A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/9 & 1/9 & -2/9 \\ 1/9 & -2/9 & 4/9 \\ -2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix}
c) Para a=1a=1, resolvemos la ecuación matricial A⋅X=BtA \cdot X = B^t.

Dada la matriz B=(01−1)B = ( 0 \quad 1 \quad -1 ), su traspuesta es:

Bt=(01−1)B^t = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Multiplicamos la ecuación por A−1A^{-1} por la izquierda:

A−1⋅A⋅X=A−1⋅BtA^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B^t
X=A−1⋅BtX = A^{-1} \cdot B^t

Sustituimos A−1A^{-1} (calculada en el apartado b) y BtB^t:

X=(4/91/9−2/91/9−2/94/9−2/94/91/9)⋅(01−1)X = \begin{pmatrix} 4/9 & 1/9 & -2/9 \\ 1/9 & -2/9 & 4/9 \\ -2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
X=((4/9)⋅0+(1/9)⋅1+(−2/9)⋅(−1)(1/9)⋅0+(−2/9)⋅1+(4/9)⋅(−1)(−2/9)⋅0+(4/9)⋅1+(1/9)⋅(−1))X = \begin{pmatrix} (4/9)\cdot 0 + (1/9)\cdot 1 + (-2/9)\cdot (-1) \\ (1/9)\cdot 0 + (-2/9)\cdot 1 + (4/9)\cdot (-1) \\ (-2/9)\cdot 0 + (4/9)\cdot 1 + (1/9)\cdot (-1) \end{pmatrix}
X=(0+1/9+2/90−2/9−4/90+4/9−1/9)=(3/9−6/93/9)=(1/3−2/31/3)X = \begin{pmatrix} 0 + 1/9 + 2/9 \\ 0 - 2/9 - 4/9 \\ 0 + 4/9 - 1/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/9 \\ -6/9 \\ 3/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}