La esfera tiene su centro en O y es tangente al plano P. El radio (R) de la esfera es la verdadera magnitud de la distancia desde O hasta el plano P. El punto de tangencia T es el pie de la perpendicular desde O al plano P.Para determinar T y el radio R: a) Trazar una recta 's' que pase por O y sea perpendicular al plano P. Sus proyecciones $s'$ y $s$ serán, respectivamente, perpendiculares a las trazas $P'$ y $P$ del plano.

b) Hallar el punto de intersección T de la recta 's' con el plano P. Para ello, se puede utilizar un plano auxiliar ($\alpha$) que contenga a 's' (por ejemplo, un plano proyectante vertical). La intersección de $\alpha$ con P será una recta 'i'. El punto T será la intersección de 's' con 'i'.

c) La verdadera magnitud del segmento OT es el radio R de la esfera. Para hallarla, se construye un triángulo rectángulo. Uno de los catetos es la distancia horizontal entre $O$ y $T$ (medida en $P_1$) y el otro cateto es la diferencia de cotas entre $O$ y $T$. O bien, se toma la distancia vertical entre $O'$ y $T'$ (medida en $P_2$) como un cateto, y la diferencia de alejamientos como el otro cateto. La hipotenusa de este triángulo es el radio R.

d) La esfera se representa en ambas proyecciones como un círculo: en la proyección vertical con centro $O'$ y radio R, y en la proyección horizontal con centro $O$ y radio R.

El plano Q es paralelo a P, por lo tanto, sus trazas son paralelas a las de P.

La distancia entre P y Q es $50 \text{ mm}$. Para que Q corte la esfera, la distancia desde el centro O de la esfera al plano Q ($d(O, Q)$) debe ser menor que el radio R de la esfera. Dado que la distancia de O a P es R, el plano Q debe situarse entre O y P, de modo que la distancia $d(O, Q) = R - 50 \text{ mm}$. a) En la recta 's' (perpendicular a P y que pasa por O, hallada en el apartado 1), localizamos un punto $T_Q$ tal que la verdadera magnitud del segmento $OT_Q = R - 50 \text{ mm}$. Este punto $T_Q$ será el centro de la sección circular que Q produce en la esfera. b) Por las proyecciones $T_Q'$ y $T_Q$ de este punto, trazamos las trazas del plano Q: $Q'$ paralela a $P'$ y $Q$ paralela a $P$.

La sección que origina el plano Q en la esfera es un círculo. Su centro es el punto $T_Q$ y su radio $r_S$ se calcula por el teorema de Pitágoras, siendo R el radio de la esfera y $d(O, Q) = R - 50 \text{ mm}$ la distancia del centro de la esfera al plano Q.

Las proyecciones de esta sección son elipses (ya que el plano Q no es horizontal ni frontal). a) Proyección horizontal: El centro de la elipse es $T_Q$. El eje mayor es paralelo a $Q$ (traza horizontal de Q) y su longitud es $2r_S$. El eje menor es perpendicular a $Q$ y su longitud es $2r_S \cdot \cos(\alpha)$, donde $\alpha$ es el ángulo del plano Q con el plano horizontal de proyección. b) Proyección vertical: El centro de la elipse es $T_Q'$. El eje mayor es paralelo a $Q'$ (traza vertical de Q) y su longitud es $2r_S$. El eje menor es perpendicular a $Q'$ y su longitud es $2r_S \cdot \cos(\beta)$, donde $\beta$ es el ángulo del plano Q con el plano vertical de proyección.La verdadera magnitud de la sección es un círculo de radio $r_S$.

La recta R es una recta de punta, lo que significa que es perpendicular al plano vertical de proyección ($P_2$). Por lo tanto, su proyección vertical $r'$ es un punto, y su proyección horizontal $r$ es una línea perpendicular a la línea de tierra (LT). a) Las proyecciones verticales de los puntos de intersección X e Y ($X'$ e $Y'$) coinciden con $r'$. b) Para encontrar $X$ e $Y$ (proyecciones horizontales): Una recta de punta tiene coordenadas $(x_R, y, z_R)$, donde $x_R$ es la coordenada $x$ de la recta $r$ (constante) y $z_R$ es la coordenada $z$ de la proyección $r'$ (constante). La ecuación de la esfera es $(x-x_O)^2 + (y-y_O)^2 + (z-z_O)^2 = R^2_{esfera}$. Sustituyendo las coordenadas de R, se obtiene una ecuación para 'y':

El término entre corchetes $[(x_R-x_O)^2 + (z_R-z_O)^2]$ representa el cuadrado de la distancia $d(O', r')$ entre la proyección vertical del centro de la esfera $O'$ y la proyección vertical de la recta $r'$.Sea $d_{int} = \sqrt{R^2_{esfera} - d(O', r')^2}$. Este valor es la mitad de la cuerda que la esfera corta a la recta R en la vista de perfil.Gráficamente, en la proyección horizontal (plano $P_1$):1. Medir la distancia $d(O', r')$.2. Construir un triángulo rectángulo con hipotenusa $R_{esfera}$ y un cateto $d(O', r')$. El otro cateto será la magnitud $d_{int}$.3. En la proyección horizontal, la recta $r$ tiene una coordenada $x_R$. El centro $O$ tiene una coordenada $y_O$. Se localiza el punto sobre la recta $r$ que tiene el mismo alejamiento que $O$ (es decir, el mismo valor de $y$ que $O$). Desde este punto sobre la recta $r$, medir $d_{int}$ en ambas direcciones a lo largo de $r$. Estos puntos son $X$ e $Y$. c) Visibilidad: Dado que la esfera es opaca, la parte de la recta $r$ que se encuentra entre los puntos de intersección $X$ e $Y$ será oculta y se representará con línea discontinua. Las partes de $r$ fuera de $X$ e $Y$ serán visibles y se representarán con línea continua. La proyección $r'$ es un punto, por lo que toda la recta se ve como ese punto en la proyección vertical.

La distancia entre el punto T y la recta R (una recta de punta) se puede determinar directamente en la proyección vertical. Debido a que la recta R es perpendicular al plano vertical de proyección, la distancia en verdadera magnitud entre R y T es simplemente la distancia entre sus proyecciones verticales $r'$ y $T'$.

Esta distancia se debe medir directamente en el dibujo adjunto.