Se parte del valor del determinante dado:
∣ a b c p q r x y z ∣ = − 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2 a p x b q y c r z = − 2 a) Calcula: ∣ a c b 2 x 2 z 2 y − 3 p − 3 r − 3 q ∣ \begin{vmatrix} a & c & b \\ 2 x & 2 z & 2 y \\ -3 p & -3 r & -3 q \end{vmatrix} a 2 x − 3 p c 2 z − 3 r b 2 y − 3 q Aplicamos las propiedades de los determinantes para transformar el determinante dado. Primero, extraemos los factores escalares de las filas 2 y 3:
∣ a c b 2 x 2 z 2 y − 3 p − 3 r − 3 q ∣ = 2 ⋅ ( − 3 ) ∣ a c b x z y p r q ∣ = − 6 ∣ a c b x z y p r q ∣ \begin{vmatrix} a & c & b \\ 2 x & 2 z & 2 y \\ -3 p & -3 r & -3 q \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) \begin{vmatrix} a & c & b \\ x & z & y \\ p & r & q \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} a & c & b \\ x & z & y \\ p & r & q \end{vmatrix} a 2 x − 3 p c 2 z − 3 r b 2 y − 3 q = 2 ⋅ ( − 3 ) a x p c z r b y q = − 6 a x p c z r b y q A continuación, intercambiamos la fila 2 y la fila 3. Esto introduce un factor de − 1 -1 − 1 :
− 6 ⋅ ( − 1 ) ∣ a c b p r q x z y ∣ = 6 ∣ a c b p r q x z y ∣ -6 \cdot (-1) \begin{vmatrix} a & c & b \\ p & r & q \\ x & z & y \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} a & c & b \\ p & r & q \\ x & z & y \end{vmatrix} − 6 ⋅ ( − 1 ) a p x c r z b q y = 6 a p x c r z b q y Finalmente, intercambiamos la columna 2 y la columna 3. Esto también introduce un factor de − 1 -1 − 1 y nos da el determinante original:
6 ⋅ ( − 1 ) ∣ a b c p q r x y z ∣ = − 6 ∣ a b c p q r x y z ∣ 6 \cdot (-1) \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} 6 ⋅ ( − 1 ) a p x b q y c r z = − 6 a p x b q y c r z Sustituimos el valor del determinante original:
− 6 ⋅ ( − 2 ) = 12 -6 \cdot (-2) = 12 − 6 ⋅ ( − 2 ) = 12 b) Calcula: ∣ x a − 3 p − 2 a y b − 3 q − 2 b z c − 3 r − 2 c ∣ \begin{vmatrix} x & a - 3 p & -2 a \\ y & b - 3 q & -2 b \\ z & c - 3 r & -2 c \end{vmatrix} x y z a − 3 p b − 3 q c − 3 r − 2 a − 2 b − 2 c Primero, extraemos el factor escalar − 2 -2 − 2 de la columna 3:
∣ x a − 3 p − 2 a y b − 3 q − 2 b z c − 3 r − 2 c ∣ = − 2 ∣ x a − 3 p a y b − 3 q b z c − 3 r c ∣ \begin{vmatrix} x & a - 3 p & -2 a \\ y & b - 3 q & -2 b \\ z & c - 3 r & -2 c \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} x & a - 3 p & a \\ y & b - 3 q & b \\ z & c - 3 r & c \end{vmatrix} x y z a − 3 p b − 3 q c − 3 r − 2 a − 2 b − 2 c = − 2 x y z a − 3 p b − 3 q c − 3 r a b c Ahora, realizamos la operación C 2 → C 2 − C 3 C_2 \rightarrow C_2 - C_3 C 2 → C 2 − C 3 (sustituimos la columna 2 por la columna 2 menos la columna 3). Esta operación no cambia el valor del determinante:
− 2 ∣ x ( a − 3 p ) − a a y ( b − 3 q ) − b b z ( c − 3 r ) − c c ∣ = − 2 ∣ x − 3 p a y − 3 q b z − 3 r c ∣ -2 \begin{vmatrix} x & (a - 3 p) - a & a \\ y & (b - 3 q) - b & b \\ z & (c - 3 r) - c & c \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} x & -3 p & a \\ y & -3 q & b \\ z & -3 r & c \end{vmatrix} − 2 x y z ( a − 3 p ) − a ( b − 3 q ) − b ( c − 3 r ) − c a b c = − 2 x y z − 3 p − 3 q − 3 r a b c Extraemos el factor escalar − 3 -3 − 3 de la columna 2:
− 2 ⋅ ( − 3 ) ∣ x p a y q b z r c ∣ = 6 ∣ x p a y q b z r c ∣ -2 \cdot (-3) \begin{vmatrix} x & p & a \\ y & q & b \\ z & r & c \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} x & p & a \\ y & q & b \\ z & r & c \end{vmatrix} − 2 ⋅ ( − 3 ) x y z p q r a b c = 6 x y z p q r a b c El valor de un determinante es igual al de su traspuesta. Tomamos la traspuesta de la matriz para facilitar la reordenación de filas:
6 ∣ x y z p q r a b c ∣ 6 \begin{vmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{vmatrix} 6 x p a y q b z r c Intercambiamos la fila 1 y la fila 3. Esto introduce un factor de − 1 -1 − 1 y nos da el determinante original:
6 ⋅ ( − 1 ) ∣ a b c p q r x y z ∣ = − 6 ∣ a b c p q r x y z ∣ 6 \cdot (-1) \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} 6 ⋅ ( − 1 ) a p x b q y c r z = − 6 a p x b q y c r z Sustituimos el valor del determinante original:
− 6 ⋅ ( − 2 ) = 12 -6 \cdot (-2) = 12 − 6 ⋅ ( − 2 ) = 12 
