T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Inferencia estadística para la media

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 8

El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $3$ días.

a) Se elige una muestra aleatoria de

100

titulados obteniéndose una media muestral de

8.1

días. Calcule un intervalo de confianza al

97\%

para estimar la media poblacional.b) Con un nivel de confianza del

92\%

, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.c) Suponiendo

\mu = 7.61

días y tomando muestras aleatorias de

36

titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a

8

días?

Distribución NormalIntervalo de confianzaMedia muestral

La variable aleatoria $X$ (número de días en encontrar trabajo) sigue una distribución Normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 3$ días. Es decir, $X \sim N(\mu, 3)$ .

a) Calcule un intervalo de confianza al

97\%

para estimar la media poblacional.

Datos: $n = 100$ Media muestral $\bar{x} = 8.1$ Desviación típica poblacional $\sigma = 3$ Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97$ Para un nivel de confianza del $97\%$ , tenemos:

1 - \alpha = 0.97 \Rightarrow \alpha = 0.03 \Rightarrow \alpha/2 = 0.015

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a una probabilidad acumulada de $0.985$ es $z_{0.015} \approx 2.17$ .La fórmula para el intervalo de confianza para la media poblacional es:

\text{IC} = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = \left( 8.1 - 2.17 \frac{3}{\sqrt{100}}, 8.1 + 2.17 \frac{3}{\sqrt{100}} \right)

\text{IC} = \left( 8.1 - 2.17 \cdot \frac{3}{10}, 8.1 + 2.17 \cdot \frac{3}{10} \right)

\text{IC} = \left( 8.1 - 2.17 \cdot 0.3, 8.1 + 2.17 \cdot 0.3 \right)

\text{IC} = \left( 8.1 - 0.651, 8.1 + 0.651 \right)

\text{IC} = \left( 7.449, 8.751 \right)

El intervalo de confianza al $97\%$ para la media poblacional es $[7.449, 8.751]$ días.

b) Con un nivel de confianza del

92\%

, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.

Datos:Error máximo $E = 1$ día.Desviación típica poblacional $\sigma = 3$ días.Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.92$ Para un nivel de confianza del $92\%$ , tenemos:

1 - \alpha = 0.92 \Rightarrow \alpha = 0.08 \Rightarrow \alpha/2 = 0.04

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.04 = 0.96

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a una probabilidad acumulada de $0.96$ es $z_{0.04} \approx 1.75$ .La fórmula del error de estimación es:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Queremos que el error sea inferior a un día, es decir, $E < 1$ . Por tanto:

1.75 \frac{3}{\sqrt{n}} < 1

5.25 < \sqrt{n}

n > (5.25)^2

n > 27.5625

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero, el tamaño muestral mínimo necesario es $28$ titulados.

c) Suponiendo

\mu = 7.61

días y tomando muestras aleatorias de

36

titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a

8

días?

Datos:Media poblacional $\mu = 7.61$ días.Desviación típica poblacional $\sigma = 3$ días.Tamaño de la muestra $n = 36$ .La población sigue una distribución Normal. Por tanto, la media muestral $\bar{X}$ seguirá también una distribución Normal con:

\mu_{\bar{X}} = \mu = 7.61

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{36}} = \frac{3}{6} = 0.5

Así, la variable aleatoria media muestral sigue una distribución $N(7.61, 0.5)$ .Para calcular la probabilidad de que la media muestral sea superior a $8$ días, estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}

P(\bar{X} > 8) = P\left( Z > \frac{8 - 7.61}{0.5} \right)

P(\bar{X} > 8) = P\left( Z > \frac{0.39}{0.5} \right)

P(\bar{X} > 8) = P(Z > 0.78)

Usando la tabla de la distribución Normal estándar:

P(Z > 0.78) = 1 - P(Z \le 0.78)

P(Z > 0.78) = 1 - 0.7823

P(Z > 0.78) = 0.2177

La probabilidad de que la media muestral sea superior a $8$ días es $0.2177$ .