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T3: Geometría
Geometría analítica en el espacio
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
4
Examen

Considera el punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y la recta rr:

r≡{x−y+2z=5x−z=1r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases}
a) Determina el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.b) Calcula el punto de la recta rr que dista 6\sqrt{6} unidades de PP.
SimetríaDistanciaRectas y puntos

Primero, expresamos la recta rr en su forma paramétrica. La recta viene dada por la intersección de dos planos:

{x−y+2z=5x−z=1\begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases}

De la segunda ecuación, obtenemos x=1+zx = 1 + z. Sustituimos esta expresión de xx en la primera ecuación:

(1+z)−y+2z=5  ⟹  1−y+3z=5  ⟹  −y=4−3z  ⟹  y=3z−4(1 + z) - y + 2z = 5 \implies 1 - y + 3z = 5 \implies -y = 4 - 3z \implies y = 3z - 4

Si hacemos z=λz = \lambda, las ecuaciones paramétricas de la recta rr son:

r≡{x=1+λy=−4+3λz=λr \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -4 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases}

Un punto genérico de la recta rr es R(1+λ,−4+3λ,λ)R(1 + \lambda, -4 + 3\lambda, \lambda). El vector director de la recta rr es vr⃗=(1,3,1)\vec{v_r} = (1, 3, 1).

a) Determina el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.

Sea QQ la proyección ortogonal del punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) sobre la recta rr. El vector PQ⃗\vec{PQ} debe ser ortogonal al vector director de la recta vr⃗\vec{v_r}. El punto QQ tiene coordenadas (1+λ,−4+3λ,λ)(1 + \lambda, -4 + 3\lambda, \lambda). El vector PQ⃗\vec{PQ} es:

PQ⃗=(1+λ−1,−4+3λ−0,λ−(−1))=(λ,3λ−4,λ+1)\vec{PQ} = (1 + \lambda - 1, -4 + 3\lambda - 0, \lambda - (-1)) = (\lambda, 3\lambda - 4, \lambda + 1)

Como PQ⃗⋅vr⃗=0\vec{PQ} \cdot \vec{v_r} = 0:

λ(1)+(3λ−4)(3)+(λ+1)(1)=0λ+9λ−12+λ+1=011λ−11=011λ=11λ=1\lambda(1) + (3\lambda - 4)(3) + (\lambda + 1)(1) = 0 \\ \lambda + 9\lambda - 12 + \lambda + 1 = 0 \\ 11\lambda - 11 = 0 \\ 11\lambda = 11 \\ \lambda = 1

Sustituimos λ=1\lambda = 1 en las coordenadas de QQ para encontrar la proyección de PP sobre rr:

Q(1+1,−4+3(1),1)=Q(2,−1,1)Q(1 + 1, -4 + 3(1), 1) = Q(2, -1, 1)

El punto QQ es el punto medio entre P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y su simétrico P′(x′,y′,z′)P'(x', y', z'). Podemos usar la fórmula del punto medio: Q=P+P′2  ⟹  P′=2Q−PQ = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2Q - P

P′=2(2,−1,1)−(1,0,−1)P′=(4,−2,2)−(1,0,−1)P′=(4−1,−2−0,2−(−1))P′=(3,−2,3)P' = 2(2, -1, 1) - (1, 0, -1) \\ P' = (4, -2, 2) - (1, 0, -1) \\ P' = (4 - 1, -2 - 0, 2 - (-1)) \\ P' = (3, -2, 3)

El punto simétrico de PP respecto de la recta rr es P′(3,−2,3)P'(3, -2, 3).

b) Calcula el punto de la recta rr que dista 6\sqrt{6} unidades de PP.

Sea S(1+λ,−4+3λ,λ)S(1 + \lambda, -4 + 3\lambda, \lambda) un punto de la recta rr. Queremos que la distancia entre P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y SS sea 6\sqrt{6}. La fórmula de la distancia al cuadrado d(P,S)2=(xS−xP)2+(yS−yP)2+(zS−zP)2d(P, S)^2 = (x_S - x_P)^2 + (y_S - y_P)^2 + (z_S - z_P)^2 debe ser igual a (6)2=6(\sqrt{6})^2 = 6.

d(P,S)2=(1+λ−1)2+(−4+3λ−0)2+(λ−(−1))2=6λ2+(3λ−4)2+(λ+1)2=6λ2+(9λ2−24λ+16)+(λ2+2λ+1)=611λ2−22λ+17=611λ2−22λ+11=0d(P, S)^2 = (1 + \lambda - 1)^2 + (-4 + 3\lambda - 0)^2 + (\lambda - (-1))^2 = 6 \\ \lambda^2 + (3\lambda - 4)^2 + (\lambda + 1)^2 = 6 \\ \lambda^2 + (9\lambda^2 - 24\lambda + 16) + (\lambda^2 + 2\lambda + 1) = 6 \\ 11\lambda^2 - 22\lambda + 17 = 6 \\ 11\lambda^2 - 22\lambda + 11 = 0

Dividimos la ecuación por 1111:

λ2−2λ+1=0\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0

Esta es una ecuación cuadrática que se puede factorizar como un cuadrado perfecto:

(λ−1)2=0  ⟹  λ=1(\lambda - 1)^2 = 0 \implies \lambda = 1

Hay un único valor de λ=1\lambda = 1. Sustituimos este valor en las ecuaciones paramétricas de rr para encontrar el punto:

S(1+1,−4+3(1),1)=S(2,−1,1)S(1 + 1, -4 + 3(1), 1) = S(2, -1, 1)

El punto de la recta rr que dista 6\sqrt{6} unidades de PP es S(2,−1,1)S(2, -1, 1). Coincide con la proyección QQ calculada en el apartado anterior.