T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Teoría

2022 · Extraordinaria · Titular

B2-a

a) Una espira conductora circular gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante en una región donde hay un campo magnético uniforme perpendicular al eje de rotación. Razone qué le ocurre al valor de la máxima f.e.m. inducida en la espira si: i) se duplica el radio de la espira; ii) se duplica el periodo de rotación.

ley de Faradayf.e.m. inducidaespira giratoria

a) La f.e.m. inducida en una espira conductora que gira en un campo magnético uniforme viene dada por la Ley de Faraday, que establece que la f.e.m. (

\varepsilon

) es igual a la variación temporal del flujo magnético (

\Phi_B

) que atraviesa la espira, con signo negativo:

\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}

El flujo magnético a través de la espira circular es $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos(\theta)$ , donde $B$ es la magnitud del campo magnético, $A$ es el área de la espira, y $\theta$ es el ángulo entre el vector de campo magnético y el vector normal a la superficie de la espira. Si la espira gira con velocidad angular constante $\omega$ , entonces $\theta = \omega t$ (asumiendo que en $t=0$ , $\theta=0$ ). El área de una espira circular de radio $R$ es $A = \pi R^2$ . Por lo tanto, el flujo magnético es:

\Phi_B = B (\pi R^2) \cos(\omega t)

Derivando el flujo respecto al tiempo para obtener la f.e.m. inducida:

\varepsilon = -\frac{d}{dt} [B (\pi R^2) \cos(\omega t)] = -B \pi R^2 (-\omega \sin(\omega t)) = B \pi R^2 \omega \sin(\omega t)

La f.e.m. inducida varía sinusoidalmente con el tiempo. El valor máximo de la f.e.m. inducida ( $\varepsilon_{max}$ ) ocurre cuando $\sin(\omega t) = \pm 1$ . Por lo tanto:

\varepsilon_{max} = B \pi R^2 \omega

Donde $\omega$ es la velocidad angular de rotación. Sabemos que la velocidad angular está relacionada con el periodo de rotación $T$ por la expresión $\omega = \frac{2\pi}{T}$ .

\varepsilon_{max} = B \pi R^2 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = \frac{2\pi^2 B R^2}{T}

Utilizaremos esta última expresión para analizar los efectos de las variaciones propuestas.

i) Se duplica el radio de la espira (

R' = 2R

Sustituimos el nuevo radio $R'$ en la expresión de la f.e.m. máxima:

\varepsilon'_{max} = \frac{2\pi^2 B (R')^2}{T} = \frac{2\pi^2 B (2R)^2}{T} = \frac{2\pi^2 B (4R^2)}{T} = 4 \left(\frac{2\pi^2 B R^2}{T}\right) = 4 \varepsilon_{max}

Si se duplica el radio de la espira, el valor de la máxima f.e.m. inducida se multiplica por un factor de 4, es decir, se cuadruplica. Esto se debe a que el área de la espira, que depende de $R^2$ , se cuadruplica.

ii) Se duplica el periodo de rotación (

T' = 2T

Sustituimos el nuevo periodo $T'$ en la expresión de la f.e.m. máxima:

\varepsilon''_{max} = \frac{2\pi^2 B R^2}{T'} = \frac{2\pi^2 B R^2}{2T} = \frac{1}{2} \left(\frac{2\pi^2 B R^2}{T}\right) = \frac{1}{2} \varepsilon_{max}

Si se duplica el periodo de rotación, el valor de la máxima f.e.m. inducida se reduce a la mitad. Esto se debe a que un periodo mayor implica una menor velocidad angular ( $\omega = 2\pi/T$ ), lo que significa que el flujo magnético varía más lentamente.