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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2019 · Ordinaria · Reserva
2A-b
Examen

Una bobina de 8080 espiras de radio 0,06 m0,06 \text{ m} se coloca en un campo magnético de manera que el flujo que la atraviesa sea máximo. Si el campo varía de acuerdo con la función B=0,5−0,02t (T)B = 0,5 - 0,02t \text{ (T)}, determine:

i) El flujo que atraviesa cada espira de la bobina en t=10 st = 10 \text{ s}.ii) La fuerza electromotriz inducida en la bobina.
flujo magnéticofuerza electromotrizley de Faraday+1
i) El flujo que atraviesa cada espira de la bobina en t=10 st = 10 \text{ s}.

El flujo magnético que atraviesa una espira se define como Φ=B⃗⋅A⃗=BAcos⁡θ\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta. Dado que el flujo que la atraviesa es máximo, el vector de campo magnético es paralelo al vector de área, por lo tanto, el ángulo θ=0∘\theta = 0^\circ y cos⁡θ=1\cos \theta = 1. Así, la expresión del flujo se simplifica a Φ=BA\Phi = BA.Primero, calculamos el área de una espira:

A=πr2A = \pi r^2
A=π(0,06 m)2=π(0,0036 m2)≈0,01131 m2A = \pi (0,06 \text{ m})^2 = \pi (0,0036 \text{ m}^2) \approx 0,01131 \text{ m}^2

A continuación, calculamos el valor del campo magnético en el instante t=10 st = 10 \text{ s}:

B(t)=0,5−0,02tB(t) = 0,5 - 0,02t
B(10 s)=0,5−0,02(10)=0,5−0,2=0,3 TB(10 \text{ s}) = 0,5 - 0,02(10) = 0,5 - 0,2 = 0,3 \text{ T}

Finalmente, el flujo que atraviesa cada espira en t=10 st = 10 \text{ s} es:

Φ=B⋅A\Phi = B \cdot A
Φ=(0,3 T)⋅(0,01131 m2)≈0,003393 Wb\Phi = (0,3 \text{ T}) \cdot (0,01131 \text{ m}^2) \approx 0,003393 \text{ Wb}
ii) La fuerza electromotriz inducida en la bobina.

La fuerza electromotriz (FEM) inducida en una bobina viene dada por la Ley de Faraday-Lenz:

E=−NdΦdt\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt}

Primero, expresamos el flujo magnético a través de una espira como función del tiempo:

Φ(t)=B(t)⋅A=(0,5−0,02t)⋅A\Phi(t) = B(t) \cdot A = (0,5 - 0,02t) \cdot A
Φ(t)=(0,5−0,02t)⋅(0,01131 m2)\Phi(t) = (0,5 - 0,02t) \cdot (0,01131 \text{ m}^2)

Ahora, calculamos la derivada del flujo con respecto al tiempo:

dΦdt=ddt[(0,5−0,02t)⋅A]=A⋅ddt(0,5−0,02t)\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt} [ (0,5 - 0,02t) \cdot A ] = A \cdot \frac{d}{dt} (0,5 - 0,02t)
dΦdt=A⋅(−0,02 T/s)=(0,01131 m2)⋅(−0,02 T/s)≈−0,0002262 Wb/s\frac{d\Phi}{dt} = A \cdot (-0,02 \text{ T/s}) = (0,01131 \text{ m}^2) \cdot (-0,02 \text{ T/s}) \approx -0,0002262 \text{ Wb/s}

Finalmente, sustituimos este valor en la Ley de Faraday-Lenz para encontrar la FEM inducida en la bobina de N=80N = 80 espiras:

E=−NdΦdt\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt}
E=−80⋅(−0,0002262 Wb/s)\mathcal{E} = -80 \cdot (-0,0002262 \text{ Wb/s})
E≈0,018096 V\mathcal{E} \approx 0,018096 \text{ V}